如何理解图像处理领域的病态问题（ill-posed problem）

ill-posed problem，我们可以理解为病态问题或者不适定问题。在本文中，统一成为不适定问题。

在讨论不适定问题（ill-posed problem）之前，我们先来看一下什么叫适定性问题（well-posed problem）。

适定性问题这是在数学领域里提出的一个概念。我们先来看下 Wikipedia 的解释：

数学术语适定性问题来自于数学家阿达马（英文: Jacques Solomon Hadamard）所给出的定义。他认为物理现象中的数学模型应该具备下述性质：
● 存在解
● 解是唯一的
● 解随着起始条件连续的改变

再来看一下百度百科的解释：

经典的数学物理方程定解问题中，人们只研究适定问题。适定问题是指定解满足下面三个要求的问题：
1.解是存在的；
2.解是唯一的；
3.解连续依赖于定解条件，即解是稳定的。

因此我们可以发现这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题。特别，如果条件3不满足，那么就称为阿达马意义下的不适定问题。一般地说不适定问题，常常是指阿达马意义下的不适定问题。在经典的数学物理中，人们只研究适定问题。

在图像处理领域，我们经常看到论文中提到某个问题是ill-posed，即无法同时满足上述三个条件，一般来说不满足第二条或者第三条。比如以图像超分辨为例（示图见文章末尾，来自SRCNN），对于输入的低分辨率图像，输出高分辨率的图像，这并没有一个标准的答案，有很多个解，且这些解并不稳定。

再举一个例子说明，比如我们希望通过低动态范围（LDR）图像生成高动态范围（HDR）图像，在这个过程中，由于图像中的过曝区域和欠曝区域存在大量的信息缺失，因此要通过算法预测出其中缺失的信息，这个问题即为ill-posed problem。

Jaeyoung Yoo 在 CVPR2018 的论文中这样描述图像恢复的不适定问题：

In most cases, there are several possible output images corresponding to a given input image and the problem can be seen as a task of selecting the most proper one from all the possible outputs.That is, the image restoration problem can be formulated as the problem of estimating the distribution conditioned on the input image.
这种不适定问题就是：一个输入会对应多个合理输出，而这个问题可以看作是从多个输出中选出最合适的那一个。图像恢复问题可以表述为估计以输入图像为条件的分布的问题。

图像处理中不适定问题（ill posed problem）或称为反问题（inverse Problem）的研究从20世纪末成为国际上的热点问题，成为现代数学家、计算机视觉和图像处理学者广为关注的研究领域。

典型的图像处理不适定问题包括：

● 图像去噪（Image De-nosing）
● 图像恢复（Image Restorsion）
● 图像放大（Image Zooming）
● 图像修补（Image Inpainting）
● 图像去马赛克（image Demosaicing）
● 图像超分辨(Image super-resolution )
● 等等

迄今为止，人们已经提出许多方法来解决图像处理中的不适定性。
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