本篇文章我们来讲机器学习篇章中的最后一个专题：聚类算法

那么，什么是聚类呢？

	聚类(Clustering)：
	按照某个特定标准(如距离)，把一个数据集分割成不同的类或簇
		使同一个簇内的数据对象相似性尽可能大
		不在同一个簇中的数据对象差异性也尽可能地大
	即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同类数据尽量分离

简单说，聚类算法就是物以类聚，人以群分

注意：聚类算法是机器学习篇中接触到的第二个无监督算法（前面讲过PCA）

一. 聚类算法划分方式

1. 划分式

• K-Means算法（均值）
• K-medoids算法（中值）
• K-modes算法（众数）
• K-prototypes算法
• CLARANS（基于选择）
• K-Means++
• bi-KMeans

2. 层次式

• BIRCH算法（平衡迭代规约）
• CURE算法（点聚类）
• CHAMELEON（动态模型）
• Agglomerative(凝聚式）
• Divisive(分裂式)

3. 基于密度

• DBSCAN（基于密度连接区域）
• DENCLUE（密度分布函数）
• OPTICS（对象排序识别）

4. 基于网络

• STING（统计信息网络）
• CLIOUE（聚类高维空间）
• WAVE-CLUSTER（小波变换）

5. 基于模型

• 统计学方法（比如GMM）
• 神经网络（比如SOM（Self Organized Maps））

二. K-means算法

牧师村民模型：
 
有四位牧师前往乡村布道。起初，他们随意选择了几个布道点，并向乡村所有村民公布了这些点的情况。于是，每位村民都前往离家最近的布道点听课
 
听完课后，大家觉得距离太远了。于是每位牧师统计了自己所有听课村民的地址，并搬到了这些地址的中心地带。他们在海报上更新了自己的布道点位置
 
每次移动后，牧师不可能让所有人都更近。有些人发现A牧师搬迁后，去B牧师那听课反而更近。于是每位村民又选择了离自己最近的布道点
 
牧师每周更新位置，村民根据情况选择布道点，最终实现了稳定

上述过程我们用图像描述如下：

这里补充：【Kmeans聚类的可视化演示】

1. K-means算法公式表达

算法评价：算法简单，聚类效果好，即使是在巨大的数据集上也非常容易部署实施

	K-Means算法有大量的变体
		包括：初始化优化K-Means++ 以及大数据应用背景下的 k-means|| 和 Mini Batch K-Mean

• K-Means算法操作：按照样本之间的距离大小，将样本集划分为 K 个簇
• 目的：让簇内的点尽量紧密的连在一起，而让簇间的距离尽量的大。

用数学表达式表示，假设簇划分为 $\left(C_1,C_2,\dots C_k\right)$ ，则我们的目标是最小化平方误差 $\mathrm{E}$ :

$$E=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}{\Vert x-{\mu }_i\Vert }_2^2$$

其中 ${\mu }_i$ 是簇 $C_i$ 的均值向量，有时也称为质心，表达式为:

$${\mu }_i=\frac{1}{\left|C_i\right|}\sum _{x\in C_i}x$$

2. K-means算法流程

输入：样本集 D = { x 1 , x 2 , … . x N } D=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots . x_{N}\right\} D={x1​,x2​,….xN​} ， 聚类的簇数 $k$ ，最大迭代次数 $T$
输出：簇划分 C = { C 1 , C 2 , … C k } C=\left\{C_{1}, C_{2}, \ldots C_{k}\right\} C={C1​,C2​,…Ck​}

具体操作：

1. 从数据集 $\mathrm{D}$ 中随机选择 $\mathrm{k}$ 个样本作为初始的质心向量，即 { μ 1 , μ 2 , … , μ k } \left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{\mathrm{k}}\right\} {μ1​,μ2​,…,μk​} ，将每个簇初始化为空集

2. 当迭代次数 $t=1,2,\dots ,\mathrm{T})$
   a)：计算样本 $x_i$ 到各个质心向量 ${\mu }_j$ 的欧式距离
   b)：将 $x_i$ 划分到最近的簇中，即更新 C j = C j ∪ { x i } C_{\mathrm{j}}=\mathrm{C}_{\mathrm{j}} \cup\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right\} Cj​=Cj​∪{xi​}
   c)：重新计算 $C_j$ 中所有样本点的质心
   $${\mu }_j=\frac{1}{\left|C_j\right|}\sum _{x\in C_j}x$$

   d)：只有当 $\mathrm{k}$ 个质心向量都没有发生变化，则转到步骤3

3. 输出簇划分 C = { C 1 , C 2 , … C k } C=\left\{C_{1}, C_{2}, \ldots C_{k}\right\} C={C1​,C2​,…Ck​}

3. Kmeans算法缺点

• 聚类中心的个数K需要事先给定
  但实际中K值的选定是非常困难的，很多时候我们并不知道给定的数据集应该聚成多少个类别才最合适

• Kmeans算法需要随机地确定初始聚类中心
  不同的初始聚类中心可能导致完全不同的聚类结果，有时会导致算法收敛很慢甚至出现聚类出错的情况

3.1 肘方法

针对第一个缺点，通常我们会根据先前的经验选择一个合适的k值，如果没有先验知识，则可以使用“肘方法”来选择一个合适的k值

	肘方法，也称为手肘法或Knee of SSE，是用于确定聚类算法中最优聚类数（K值）的一种启发式方法
	
		核心概念：在聚类分析中，特别是在K-means聚类算法中，我们需要预先指定簇的数量K。为了找到最佳的K值，通常会使用误差平方和（SSE）作为评估标准
		操作方式：随着聚类数量K的增加，样本会被划分得越来越精细，每个簇内的紧密程度提高，因此SSE会逐渐减小
		     		当K值小于实际的聚类数量时，增加K会显著降低SSE
		     		当K值达到实际聚类数量后，再增加K，SSE的下降速度会突然减慢
		实际应用：在实践中，通过计算不同K值对应的SSE，并将这些点绘制在图表上，寻找“肘部”出现的点
			 		即：SSE下降速度减缓的转折点，该点的K值通常被认为是数据集中真实的聚类数量

讲该方法抽象为数学公式：
$$SSE=\sum _{i=1}^k\sum _{p\in C_i}{\left|p-m_i\right|}^2$$

其中 $C_i$ 为第 $i$ 个簇， $m_i$ 为第 $i$ 个质心， $p$ 为属于 $C_i$ 的数据点，SSE代表了聚类效果

3.2 k-means++ 算法

针对第二个缺点：可以通过k-means++算法来解决，即对于初始化质心的优化策略

1. 从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心 $\mu 1$
2. 对于数据集中的每一个点$x_i$，计算到已选择中心点的最近聚类中心的距离D
3. 选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：
        D较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4. 重复2和3，直到选择出k个聚类质心
5. 利用这k个质心来作为初始化质心，运行标准的K-Means算法

这里对下一个聚类中心点的选举方式做解释：

1. 对于距离最远的样本点，可能是离群点
2. 对于单个最远距离的离群点，其概率或许很大；但整体看待一个簇的概率时，单个离群点的概率就很小

3.2.1 k-means|| 算法

k-means||是k-means++的变体，k-means||在初始化中心点时对kmeans++的缺点做了
规避，主要体现在：

	不需要根据k的个数严格地寻找k个点
	
	主要思路：
	改变每次遍历时的取样规则
	每次获取 K个样本，重复该取样操作O(logn)次
	将这些抽样出来的样本聚类出K个点

使用这K个点作为K-Means算法的初始聚簇中心点（实践证明：一般5次重复采用就可以保证一个比较好的聚簇中心点）

相关参考论文

3.3 Mini Batch K-Means 算法

在传统的K-Means算法中，要计算所有的样本点到所有的质心的距离，如果样本量非常大，算法非常耗时；因此，在海量数据面前，Mini Batch K-Means应运而生

• Mini Batch操作：
  用样本集中的一部分的样本来做传统的K-Means，避免样本量太大时的计算难题，同时算法收敛速度也大大加快

   	选择一个合适的批样本大小batch size，用batch size个样本来做K-Means聚类
   	
   	对于batch size：一般是通过无放回的随机采样得到的
  

• Mini Batch代价：
  聚类的精确度会有一些降低，一般来说这个降低的幅度在可以接受的范围之内

4. 聚类评估

• 簇内不相似度：计算样本$i$到同簇其它样本的平均距离为$a_i$
                    $a_i$越小，表示样本 $i$ 越应该被聚类到该簇

簇 $C$ 中的所有样本的$a_i$的均值被称为簇$C$的凝聚度

• 簇间不相似度：计算样本$i$到最近簇$C_j$(非自身所在簇)所有样本的平均距离$b_i$
                    具体：计算所有簇中样本到样本$i$的平均距离，取距离最小的簇

                    $b_i$越大，表示样本$i$越不属于其它簇

• 轮廓系数：$s_i$ 取值范围为$[-1,1]$
              越接近1表示样本$i$聚类越合理
              越接近-1，表示样本$i$应该分类到另外的簇中
              近似为0，表示样本$i$应该在边界上

所有样本$s_i$的均值被称为聚类结果的轮廓系数

s ( i ) = b ( i ) − a ( i ) max ⁡ { a ( i ) , b ( i ) } s(i)=\frac{b(i)-a(i)}{\max \{a(i), b(i)\}} s(i)=max{a(i),b(i)}b(i)−a(i)​

$$s(i)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{a(i)}{b(i)},& a(i)<b(i)\\ & \\ 0,& a(i)=b(i)\\ & \\ \frac{b(i)}{a(i)}-1,& a(i)>b(i)\end{array}$$

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补充：当簇中存在异常点时，使用K-Mediods聚类（K中值聚类）的效果优于Kmeans

三. DBSCAN算法

基于距离的聚类算法对于球状簇的聚类效果并不好

而对于基于密度的聚类算法，聚类形状可以为任意形状：

	通过在数据集中寻找被低密度区域分离的高密度区域，将分离出的高密度区域作为一个独立的类别

DBSCAN，即Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise，具有噪声的基于密度的聚类方法，是基于密度空间的聚类算法

	具体原理：
		每个簇类的密度高于该簇类周围的密度
		噪声的密度小于任一簇类的密度

		因此DBSCAN算法也能用于异常点检测

1. DBSCAN算法组成

DBSCAN算法处理后的聚类样本点分为：

• 核心点（core points）
• 边界点（border points）
• 噪声点（noise）

超参数：距离$Ɛ$ 和 邻居数目$MinPts$

1.1 核心点

对某一数据集$D$，若样本$p$的 $\epsilon$ - 邻域内至少包含MinPts个样本（包括样本$p$），那么样本$p$称核心点。即:

$$N_{\epsilon }(p)\ge \mathrm{MinPts}$$

其中 $\epsilon$ - 邻域 $N_{\epsilon }(\mathrm{p})$ 的表达式为:

N ε ( p ) = { q ∈ D ∣ dist ⁡ ( p , q ) ≤ ε } N_{\varepsilon}(p)=\{q \in D \mid \operatorname{dist}(p, q) \leq \varepsilon\} Nε​(p)={q∈D∣dist(p,q)≤ε}

1.2 边界点

若样本 $b$ 在任意核心点 $p$ 的 $Ɛ$- 邻域内，但是它的 $Ɛ$- 邻域内的样本数少于$MinPts$（包括样本p），那么样本b称为边界点

1.3 噪声点

如果样本n既不是核心点，也不是边界点，则称为噪声点

假设 $MinPts=4$
红色：核心点
黄色：边界点
蓝色：噪声点

2. DBSCAN算法原理

• 密度直达（directly density-reachable）
  若$p$为核心点，$q$处于$p$的 $Ɛ$- 邻域内，则称$q$由$p$密度直达

• 密度可达（density-reachable）
  若 $p_1，p_2，...，p_n$ 均为核心点，且$p_i$由$p_{i+1}$密度直达(因此
  $p_{i+1}$由$p_i$密度直达)，则称$p_1，p_2，...，p_n$两两之间均密度可达

• 密度相连（density-connected）
  若$p$和$q$密度可达，则$p$的$Ɛ$-邻域内的任何点与$q$的$Ɛ$-邻域内的任何点都密度相连
  

   假设MinPts=5
   
   		红色：核心点
   		黑色：不是核心点
   	所有由核心点密度直达的点，都在以该核心点为中心的超球体内
   	反之，如果某个点不能密度直达，则不在超球体内
   	
   	绿色箭头连接起来的核心点组成了密度可达的样本序列
  
   	在密度可达的样本序列的 Ɛ- 邻域内，所有的样本相互都是密度相连的
  

只要两个样本点是密度相连的关系，那么该两个样本点归为同一簇类

3. DBSCAN算法流程

	从数据集D中随机选择一个核心点作为“种子”，由该种子出发确定相应的聚类簇，当遍历完与之密度可达的所有核心点时，一次聚类结束

1. 任意选取一个点：
   以该点为中心，找到与这个点距离 $\le Ɛ$ 的所有的点

       如果数据点个数$<$ MinPts，那么这个点被标记为噪声 / 边界点
       如果数据点个数$\ge$ MinPts，那么这个点被标记为核心样本，并被分配一个新的簇标签

2. 访问该点在$Ɛ$内的所有邻居：

       如果样本点还没有被分配一个簇，那么就将刚刚创建的新簇标签分配给它们
       如果它们是核心样本，那么就依次访问其邻居，以此类推
       簇逐渐增大，直到在簇的 $Ɛ$ 距离内没有更多的核心样本为止

3. 选取另一个尚未被访问过的点，并重复相同的过程

4. DBSCAN 超参数选择

	Ɛ 设置得非常小，则意味着没有点是核心样本，可能会导致所有点被标记为噪声
	Ɛ 设置得非常大，可能会导致所有点形成单个簇
	Ɛ 可以隐式地控制簇的个数
	
	使用 StandarScaler 或 MinMaxScaler 对数据进行缩放，有时更容易找到 Ɛ 的较好取值；因为使用缩放技术将确保所有特征具有相似的范围

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