DDPM的重大缺陷在于其在反向扩散的过程中需要逐步从$x_t$倒推到$x_0$，因此其推理速度非常缓慢。相反，DDPM的训练过程是很快的，可以直接根据$x_0$到$x_t$添加的高斯噪声$ϵ$完成一次训练。

为了解决这个问题，就有了DDIM，且包括Stable Diffusion在内的现今广泛使用的Diffusion模型都在使用DDIM。

在DDPM中，我们利用$P(x_{t-1}|x_t)$来逐步倒推至最开始的$x_0$，这一过程是遵守马尔可夫过程的，即每个时刻的状态只跟上一个时刻的状态有关，因此只能一步步的倒退回去。而实际上，我们最初就是简化了加噪过程，从$x_0$到$x_t$直接一步到位，并没有使用$P(x_t|x_{t-1})$这样按部就班的马尔可夫过程。那么，能不能在倒推的时候也采用类似的思路进行“跳步”，从而达到加快推理的目的呢？

假设我们现在想直接从$k$时刻跳到$s$时刻，且有$s<k-1$，那么仿照DDPM我们可以写出下列式子
$$P(x_s|x_k,x_0)=\frac{P(x_k|x_s,x_0)P(x_s|x_0)}{P(x_k|x_0)}$$
其中$P(x_s|x_0)$和$P(x_k|x_0)$满足的分布都好说，可以从正向扩散公式中得出。不知道怎么表示的这一项$P(x_k|x_s,x_0)$因为反正整个模型都没有用过，所以可以先不考虑。（这个解释确实很神奇，但是他有用啊）其实就是说DDIM打破了马尔可夫链从$0$开始逐个往前扩散的模型，而是直接采用从$x_0$到$x_t$的直接公式作为整个模型的backbone，因此从$s$到$k$的正向过程可以“按需定义”，而不必采用DDPM里的公式，所以在这里就直接被忽略了。

言归正传，我们尝试求解一下上面的式子。参考DDPM，我们也可以假设$P(x_s|x_k,x_0)$是满足正态分布的，其均值为$x_k$和$x_0$的加权和，记为
$$P(x_s|x_k,x_0)\sim \mathcal{N}(n{x}_0+m{x}_k,{\sigma }^2)$$写出$x_s$的表达式
$$x_s=(n{x}_0+m{x}_k)+\sigma ϵ,ϵ\in \mathcal{N}(0,1)$$将$x_k=\sqrt{{\overline{\alpha }}_k}{x}_0+\sqrt{1-{\overline{a}}_k}{ϵ}^{\prime }$代入，可得
$$\begin{array}{rl}{x}_s& =(n{x}_0+m{x}_k)+\sigma ϵ\\ & =(n+m\sqrt{{\overline{a}}_k})x_0+(m\sqrt{1-{\overline{a}}_k}{ϵ}^{\prime }+\sigma ϵ)\\ & =(n+m\sqrt{{\overline{a}}_k})x_0+\sqrt{m^2(1-{\overline{a}}_k)+{\sigma }^2}{ϵ}^{\prime \prime }\end{array}$$注意到这个的形式与从$x_0$直接到$x_s$的公式很像，即$x_s=\sqrt{{\overline{\alpha }}_s}{x}_0+\sqrt{1-{\overline{a}}_s}ϵ$，所以我们可以将这两个系数对应起来求解，得
$$m=\frac{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_s-{\sigma }^2}}{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_k}},n=\sqrt{{\overline{\alpha }}_s}-\frac{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_s-{\sigma }^2}}{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_k}}\sqrt{{\overline{\alpha }}_k}$$将上面的结果带入$x_s$的均值$n{x}_0+m{x}_k$，可得
$$\begin{array}{r}\mu =\sqrt{{\overline{\alpha }}_s}{x}_0+\frac{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_s-{\sigma }^2}}{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_k}}(x_k-\sqrt{{\overline{\alpha }}_k}{x}_0)\end{array}$$这样我们就求得了$P(x_s|x_k,x_0)$满足的正态分布$\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，其中只剩$\sigma$为变量，$x_0$可以像DDPM一样反解为 $x_k$的表达式代入，通过预测加噪的噪声来得到一个确定的$\mu$。

至于方差$\sigma$，一般有两种取值，取$0$时方差为$0$，这个反向扩散就成了一个确定过程，对应标题中所说的“多样性换运行效率”，此时$\sigma =0$的状态就是我们通常所说的DDIM。而$\sigma =\frac{\sqrt{1-a_t}\sqrt{1-{\overline{a}}_{t-1}}}{\sqrt{1-{\overline{a}}_t}}$，即在DDPM中推出来的方差时，整个过程会退化为DDPM的倒推过程。

需要注意的是，这里的$\sigma$可以自由取值是因为我们假设$P(x_s|x_k,x_0)$是一个均值$\mu$未知，方差为${\sigma }^2$的高斯分布，通过求解$\mu$得到了一个只有$\sigma$为自由变量的$x_s$的表达式。可以把$\sigma$视作一个超参数，只是通过实验发现在$\sigma =0$时效果最好。而DDPM中的方差是通过三个已知的正态分布计算来的，本身就是靠计算得来的确定的方差，所以不能随便更改，如果在DDPM的过程中使$\sigma =0$，效果会非常差。

而从实验结果来看，$\sigma =0$的时候还是效果最好的，FID最低。在$S$取$50$或$100$，即加速$10-20$倍时保持相近的生成质量。

更妙的是，因为DDPM中的U-Net预测的是加在$x_t$上的噪声$ϵ$，这个是基于正向扩散的公式来的。而DDIM并没有改变这一过程，因此一个训练好的DDPM中的U-Net也可以直接拿到DDIM里面，甚至不需要额外训练。DDIM只是更改了DDPM反向扩散的过程，通过跳步加速推理。