使用SVD将图像压缩四分之一（MATLAB）

SVD压缩前后数据量减少的原因在于，通过奇异值分解（SVD），我们将原始数据（如图像）转换成了一种更加紧凑的表示形式。这种转换依赖于数据内部的结构和相关性，以及数据中信息的不均匀分布。

让我们简单分析一下这个过程为何能减少所需的数据量：

数据的结构和相关性

高度相关的数据：图像数据往往包含大量的空间相关性，即图像中相邻的像素点在颜色和亮度上通常非常接近。这种高度的相关性意味着原始图像可以通过更少的信息来近似表示，而不是独立地存储每一个像素的值。
信息的不均匀分布：在图像中，并不是所有像素都同等重要。某些区域（如图像中的边缘或纹理）包含了更多的视觉信息，而其他区域（如单一背景）的信息量较少。SVD正是利用了这种不均匀的信息分布，通过优先保留那些信息量大的成分，而忽略那些信息量小的成分，来实现数据压缩。

SVD压缩的工作原理

通过奇异值分解，图像被分解为三个矩阵（(U), (\Sigma), (V^T)），其中包含了所有原始数据的信息。但是，我们可以选择只保留前(r)个最大的奇异值及其对应的向量，这样就能用较少的数据来近似原始图像。具体来说：

奇异值((\Sigma))：表示数据中的信息量，大的奇异值对应于数据中的主要特征。通过只保留前(r)个最大的奇异值，我们实际上保留了图像中的主要信息。
左奇异向量((U))和右奇异向量((V^T))：分别代表了图像行和列的基向量。保留前(r)个奇异值意味着我们只需要这些向量的一个子集。

为什么SVD比直接存储像素点节省空间？

直接使用像素点表示图像，我们需要为图像中的每个像素存储一个值（在灰度图像中）或三个值（在彩色图像中）。这种表示方法没有考虑像素之间的相关性和信息的重要性差异。

使用SVD后，我们仅通过三个矩阵（(U_r), (\Sigma_r), (V_r^T)）的乘积来近似表示原始图像。这三个矩阵的大小小于原始图像矩阵的大小，特别是当(r)远小于图像的原始维度时。因此，需要存储的数据量减少了，这就实现了数据压缩。

综上所述，虽然初始看起来每个像素直接存储似乎更简单、更直接，但通过利用图像数据的内在结构和信息分布的不均匀性，SVD提供了一种更为高效的数据表示方法。通过仅保留最重要的数据成分，它能够以更小的数据量来近似原始图像，从而达到数据压缩的目的。

MATLAB代码

clc;
clearvars;
close all;
% A_org=double(imread("lena.bmp"));
A_org=double(imread("lena256.bmp"));
[m_org,n_org]=size(A_org);
disp("原始图像像素个数：");
org_size=m_org*n_org;
disp(org_size);

compr=uint8(m_org*0.11);
[U_red ,S_red , V_red,A_red]  = svd_compress( A_org, compr );


[m_U,n_U]=size(U_red);
U_size=m_U*n_U;

[m_S,n_S]=size(S_red);
S_size=m_S*n_S;

[m_V,n_V]=size(V_red);
V_size=m_V*n_V;

red_size=U_size+S_size+V_size;
disp("压缩后像素个数：");
disp(red_size);

disp("压缩比例:");
disp(red_size/org_size);


[m_red,n_red]=size(A_red);
disp("压缩后原始图像像素个数");
disp(m_red*n_red);

disp("PSNR:");
my_psnr=psnr(uint8(A_org),uint8(A_red));
disp(my_psnr);


function [ U_red ,S_red , V_red,A_red ] = svd_compress( A_org, compr )

% svd_compress compresses an input matrix (e.g. an image) using the
% Singular Value Decomposition (SVD).
%   Input args: A_org: Any matrix with double real entries, e.g. an image 
%   file (converted from uint8 to double).
%   compr: Quality of compression. If 0 <= compr < 1, it only keeps
%   Singular Values (SVs) larger than compr times the biggest SV. If 1 <= 
%   compr <= number of SVs, it keeps the biggest compr SVs. Otherwise the 
%   function returns an error.
%   Output args: A_red: Compressed version of A_org in double using the
%   SVD, e.g. an image file (convert from double to uint8).

% SVD on the original matrix
[U,S,V] = svd(A_org);

% Extract Singular Values (SVs)
singvals = diag(S);

% Determine SVs to be saved
if compr >= 0 && compr < 1
    % only SVs bigger than compr times biggest SV
    indices = find(singvals >= compr * singvals(1));
elseif compr >= 1 && compr <= length(singvals)
    % only the biggest compr SVs
    indices = 1:compr;
else
    % return error
    error('Incorrect input arg: compr must satisfy 0 <= compr <= number of Singular Values');
end

% Truncate U,S,V
U_red = U(:,indices);
S_red = S(indices,indices);
V_red = V(:,indices);

% Calculate compressed matrix
A_red = U_red * S_red * V_red';

end