力扣(LeetCode)第12题“整数转罗马数字”提供了一个绝佳的学习机会,不仅让我们深入古罗马的数字系统,也锻炼了我们的编程技巧。一起看看其背后的逻辑。
罗马数字基础
罗马数字是一种古老的数字表示方法,广泛用于古罗马时期。不同于现代的十进制数字系统,罗马数字使用字母来表示不同的数值。以下是罗马数字的基本组成部分:
- I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)
罗马数字的构造规则相对直观:通常情况下,罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例,例如 4 不写做 IIII
,而是 IV
。数字 1 在数字 5 的左边,所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地,数字 9 表示为 IX
。这个特殊的规则只适用于以下六种情况:
I
可以放在V
(5) 和X
(10) 的左边,来表示 4 和 9。X
可以放在L
(50) 和C
(100) 的左边,来表示 40 和 90。C
可以放在D
(500) 和M
(1000) 的左边,来表示 400 和 900。
问题描述
力扣第12题要求我们将给定的整数转换为罗马数字表示,该整数范围从1到3999。这个范围的限定是由罗马数字表示的上限所决定的。
示例 1:
输入: num = 3
输出: "III"
示例 2:
输入: num = 4
输出: "IV"
示例 3:
输入: num = 9
输出: "IX"
示例 4:
输入: num = 58
输出: "LVIII"
解释: L = 50, V = 5, III = 3.
示例 5:
输入: num = 1994
输出: "MCMXCIV"
解释: M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4.
算法思路
要有效地解决这个问题,我们可以采用“贪心算法”来逐步构建罗马数字表示。贪心算法是一种在当前步骤中选取最优解的算法,以此希望整体达到最佳解的策略。
解题步骤
- 准备映射表:首先,创建一个映射表,列出所有单一罗马数字及其值,以及特殊的减法规则组合(如IV表示4)。
- 逐步减少:从最大的数值和对应的罗马数字开始,尽可能多地从输入整数中减去该数值,每次减去时,将相应的罗马数字添加到结果字符串中。
- 重复直到完成:继续此过程,直到整数减少到0。
代码实现(Python)
def intToRoman(num: int) -> str:
roman_map = [
(1000, "M"), (900, "CM"), (500, "D"), (400, "CD"),
(100, "C"), (90, "XC"), (50, "L"), (40, "XL"),
(10, "X"), (9, "IX"), (5, "V"), (4, "IV"), (1, "I")
]
roman_numeral = ""
for value, symbol in roman_map:
while num >= value:
num -= value
roman_numeral += symbol
return roman_numeral
性能分析
对于该算法,其时间和空间复杂度都可以认为是O(1),因为罗马数字表示的整数有一个上限(3999),算法运行时间和所需空间并不随输入整数的大小而变化。
算法图解
动态GIF图
为了将上述绘图过程转换成动态GIF图片,我们需要在Python中采用稍微不同的方法。这通常涉及到在每个绘图步骤中保存图像,并最后使用这些图像来创建GIF。下面是一个如何实现这一过程的示例:
- 保存每一步的图像:在循环中,每执行一次操作(即每次从数字中减去一个罗马数字值),我们都将保存当前的图表状态作为一个图像文件。
- 创建GIF:使用这些图像文件创建GIF。我们可以使用像imageio这样的库来完成这个任务。
代码实现(Python)
首先,确保你已经安装了imageio库。如果还没有安装,你可以通过运行pip install imageio来安装它。
接下来,让我们更新代码来实现这个过程:
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio
import os
# 定义罗马数字映射和待转换的数字
numerals = [
(1000, 'M'), (900, 'CM'), (500, 'D'), (400, 'CD'),
(100, 'C'), (90, 'XC'), (50, 'L'), (40, 'XL'),
(10, 'X'), (9, 'IX'), (5, 'V'), (4, 'IV'), (1, 'I')
]
num = 1994
original_num = num
# 准备存放每一帧图像的目录
frames_dir = "frames_dir"
os.makedirs(frames_dir, exist_ok=True)
filenames = [] # 存储每一帧图像文件名
# 转换过程
result = "" # 累积的罗马数字
for value, symbol in numerals:
while num >= value:
num -= value
result += symbol
# 绘图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.text(0.5, 0.7, f'Converting: {original_num} to Roman Numerals', ha='center', va='center', fontsize=14)
ax.text(0.5, 0.5, f'- {symbol} ({value})', ha='center', va='center', fontsize=20, color='red')
ax.text(0.5, 0.4, f'Remaining: {num}', ha='center', va='center', fontsize=14)
ax.text(0.5, 0.6, f'Converted: {result}', ha='center', va='center', fontsize=14)
ax.axis('off')
# 保存图像
filename = os.path.join(frames_dir, f'frame_{original_num - num}.png')
plt.savefig(filename)
plt.close()
filenames.append(filename)
# 生成GIF
gif_filename = 'roman_conversion.gif'
with imageio.get_writer(gif_filename, mode='I', duration=0.5) as writer:
for filename in filenames:
image = imageio.imread(filename)
writer.append_data(image)
# 清理临时文件
for filename in filenames:
os.remove(filename)
os.rmdir(frames_dir)
print(f"GIF saved as {gif_filename}")
执行步骤解析
- 初始化和映射定义:设置罗马数字映射和待转换的数字。
- 创建帧目录:为每一步生成的图像帧创建一个存放目录。
- 绘图和保存:对每个罗马数字减法操作,绘制并保存一帧图像。
- GIF生成:使用imageio读取所有帧图像并合成GIF。
- 清理:删除所有临时帧图像和目录。
结论
通过动态的GIF图示我们更好的掌握算法的运行步骤