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NOIP2014提高组D1T2：联合权值

题目描述

无向连通图 $G$ 有 $n$ 个点，$n-1$ 条边。点从 $1$ 到 $n$ 依次编号,编号为 $i$ 的点的权值为 $W_i$，每条边的长度均为 $1$。图上两点 $(u,v)$ 的距离定义为 $u$ 点到 $v$ 点的最短距离。对于图 $G$ 上的点对 $(u,v)$，若它们的距离为 $2$，则它们之间会产生 $W_v\times W_u$ 的联合权值。

请问图 $G$ 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入格式

第一行包含 $1$ 个整数 $n$。

接下来 $n-1$ 行,每行包含 $2$ 个用空格隔开的正整数 $u,v$，表示编号为 $u$ 和编号为 $v$ 的点之间有边相连。

最后 $1$ 行，包含 $n$ 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 $i$ 个整数表示图 $G$ 上编号为 $i$ 的点的权值为 $W_i$。

输出格式

输出共 $1$ 行，包含 $2$ 个整数，之间用一个空格隔开,依次为图 $G$ 上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对 $10007$ 取余。

样例 #1

样例输入 #1

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10

样例输出 #1

20 74

提示

样例解释

本例输入的图如上所示，距离为 $2$ 的有序点对有$(1,3)$ 、$(2,4)$ 、$(3,1)$ 、$(3,5) $、$(4,2)$ 、$(5,3) $。

其联合权值分别为 $2,15,2,20,15,20$。其中最大的是 $20$，总和为 $74$。

数据说明

• 对于 $30\%$ 的数据，$1<n\le 100$；
• 对于 $60\%$ 的数据，$1<n\le 2000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1<n\le 2\times 10^5$，$0<W_i\le 10000$。

保证一定存在可产生联合权值的有序点对。

算法思想

根据题目描述，无向连通图 $G$ 有 $n$ 个点，$n-1$ 条边，说明该图是一棵树。对于一棵树来说，距离为$2$的点对有下面两种情况，姑且称为“一字形”和“八字形”：

对于一字形来说，$fa$和$v$之间的联合权值为 $W_{fa}\times W_v$ ，可以直接求其中的最大值和所有联合权值之和。
对于八字型来说，可以将当前节点$u$的所有子节点$v_1,v_2...$两两配对，求其中的最大值和所有联合权值之和。由于每个点的权值 $W_i>0$，因此可以维护一个前缀最大值pre_max和前缀和pre_sum。这样每一点线性扫描一遍即可，不需要 $O(n^2)$ 枚举。

值得注意的是 $(u,v)$和 $(v,u)$是两个不同的点对，因此在计算最终联合权值之和时要乘$2$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005, mod = 10007;
int w[N], ans_max, ans_sum;
vector<int> g[N];
void dfs(int u, int fa)
{
    int pre_max = 0, pre_sum = 0; //前缀最大值，前缀和
    for(int v : g[u])
    {
        if(v == fa) continue;
        if(fa != -1) //一字型
        {
            ans_max = max(ans_max, w[v] * w[fa]);
            ans_sum = (ans_sum + w[v] * w[fa]) % mod;
        }
        //八字形
        ans_max = max(ans_max, w[v] * pre_max);
        ans_sum = (ans_sum + w[v] * pre_sum) % mod;
        //更新前缀最大值和前缀和
        pre_max = max(pre_max, w[v]);
        pre_sum = (pre_sum + w[v]) % mod;
        
        dfs(v, u);
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i < n; i ++) //n个点树有n-1条边
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        g[u].push_back(v), g[v].push_back(u); //无向图，双向建边
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);
    dfs(1, -1);
    printf("%d %d", ans_max, ans_sum * 2 % mod);
    return 0;
}