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环形石子合并

题目描述：

将 $n$ 堆石子绕圆形操场排放，现要将石子有序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记做该次合并的得分。

请编写一个程序，读入堆数 $n$ 及每堆的石子数，并进行如下计算：

选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最大。
选择一种合并石子的方案，使得做 $n-1$ 次合并得分总和最小。

输入格式
第一行包含整数 $n$，表示共有 $n$ 堆石子。

第二行包含 $n$ 个整数，分别表示每堆石子的数量。

输出格式
输出共两行：

第一行为合并得分总和最小值，第二行为合并得分总和最大值。

数据范围
$1\le n\le 200$

输入样例：

4
4 5 9 4

输出样例：

43
54

思路

通过把原数组复制元素扩容到原来的两倍，这样便利起始位置 start 为 $[0,n)$，长度为 $n$，这样终止位置便为 $[0+n-1,n+n-1)$，用普通的石子区间DP遍历这样的几个 $start$ 就可以得到最终答案。这样模拟起始位置相当于，模拟环状的各种断裂位置。

代码实现

import sys
from math import inf
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))
nums = nums + nums

s = [0 for _ in range(2 * n + 1)]
for i in range(2 * n):
    s[i + 1] = s[i] + nums[i]
    

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]
for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n - 1):
        f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j + 1] - s[i] for k in range(i, j))
print(min(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]
for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n - 1):
        f[i][j] = max(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j + 1] - s[i] for k in range(i, j))
print(max(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

能量项链

题目描述：

在 $Mars$ 星球上，每个 $Mars$ 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 $N$ 颗能量珠。

能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。

并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。

因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 $Mars$ 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。

如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m\times r\times n$（$Mars$ 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时， $Mars$ 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。

显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。

我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4、1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 $((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3)=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$。

输入格式：

输入的第一行是一个正整数 $N$ ，表示项链上珠子的个数。

第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$，第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记，当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记，第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

输出只有一行，是一个正整数 $E$ ，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

数据范围：

$4\le N\le 100,1\le E\le 2.1\times 10^9$

输入样例：

4
2 3 5 10

输出样例：

710

代码实现

与上一题的思路相同

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))
nums = nums + nums

f = [[0 for _ in range(2 * n)] for _ in range(2 * n)]

for i in range(2 * n - 2, -1, -1):
    for j in range(i + 1, 2 * n):
        f[i][j] = max(f[i][k] + f[k + 1][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k + 1] for k in range(i, j))

print(max(f[start][start + n - 1] for start in range(n)))

加分二叉树

题目描述：

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $tree$ 的中序遍历为 $(1,2,3,\dots ,n)$，其中数字 $1,2,3,\dots ,n$ 为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$，$tree$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $subtree$（也包含 $tree$ 本身）的加分计算方法如下：

$subtree$ 的左子树的加分 $\times subtree$ 的右子树的加分 $+subtree$ 的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为 $1$。

叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\dots ,n)$ 且加分最高的二叉树 $tree$。

要求输出：

（1）$tree$ 的最高加分

（2）$tree$ 的前序遍历

输入格式：

第 $1$ 行：一个整数 $n$ ，为节点个数。

第 $2$ 行：$n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（ $0$ < 分数 < $100$ ）。

输出格式：

第 $1$ 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过 $int$ 范围）。

第 $2$ 行：$n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围：

$n<30$

输入样例：

5
5 7 1 2 10

输出样例：

145
3 1 2 4 5

思路

状态表示：
集合
$f[i][j]$ :从 $i$ 到 $j$ 区间内，选一点 $k$ 作为根节点，表示中序遍历是 $w[i\sim j]$ 的所有二叉树的集合。

属性
加分二叉树的 $Max$ 最大值

状态转移
任选节点 $k$，以 $k$ 点为根构成的加分二叉树的值=它的左子树的最大加分值
$\times$ 右子树的最大加分值 $+$ $k$点权值。
$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k-1]\ast f[k+1][j]+w[k])(i<=k<=j)$$

注意若某个子树为空的情况，通过超出边界一些，来模拟子树为空的情况。

代码实现

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
w = list(map(int, input().strip().split()))

f = [[w[i] if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]
path = [[i if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]

for i in range(n - 1, -1, -1):
    for j in range(i + 1, n):
        for k in range(i, j + 1):
            ls = 1 if i == k else f[i][k - 1]
            rs = 1 if j == k else f[k + 1][j]
            val = ls * rs + w[k]
            if f[i][j] < val:
                f[i][j] = val
                path[i][j] = k


def out(l, r):
    if l > r:
        return
    print(path[l][r] + 1, end=' ')
    out(l, path[l][r] - 1)
    out(path[l][r] + 1, r)


print(f[0][-1])
out(0, n - 1)

凸多边形的划分

题目描述：

给定一个具有 $N$ 个顶点的凸多边形，将顶点从 $1$ 至 $N$ 标号，每个顶点的权值都是一个正整数。

将这个凸多边形划分成 $N-2$ 个互不相交的三角形，对于每个三角形，其三个顶点的权值相乘都可得到一个权值乘积，试求所有三角形的顶点权值乘积之和至少为多少。

即：求所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值。

输入格式：

第一行包含整数 $N$，表示顶点数量。

第二行包含 $N$ 个整数，依次为顶点 $1$ 至顶点 N$ 的权值。

输出格式：

输出仅一行，为所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值。

数据范围：

$N\le 50$，数据保证所有顶点的权值都小于 $10^9$

输入样例：

5
121 122 123 245 231

输出样例：

12214884

代码实现

力扣原题

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))

f = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

for i in range(n - 3, -1, -1):
    for j in range(i + 2, n):
        f[i][j] = min(f[i][k] + f[k][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k] for k in range(i + 1, j))

print(f[0][-1])

棋盘分割

题目描述

将一个 8 $\times$ 8 的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了 $(n-1)$ 次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有 $n$ 块矩形棋盘。 (每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成 $n$ 块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差 $\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ ，其中平均值 $\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$ , $x_i$ 为第 $i$ 块矩形棋盘的分。

请编程对给出的棋盘及 $n$ ，求出 $\sigma$ 的最小值。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ ($ 1 < n< 15 $)。

第二行至第九行每行为 $8$ 个小于 $100$ 的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出格式

仅一个数，为 $\sigma$ （四舍五入精确到小数点后三位）。

样例 #1

样例输入 #1

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

样例输出 #1

1.633

佬的题解

佬的题解

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(10 ** 6)
input = sys.stdin.readline
from math import inf, sqrt

n, m = int(input().strip()), 8
nums = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(m)]
s = [[0] * (m + 1) for _ in range(m + 1)]

for i in range(m):
    for j in range(m):
        s[i + 1][j + 1] = s[i + 1][j] + s[i][j + 1] + nums[i][j] - s[i][j]

ave = s[m][m] / n


def sum_grid(x1, y1, x2, y2):
    return (s[x2 + 1][y2 + 1] + s[x1][y1] - s[x2 + 1][y1] - s[x1][y2 + 1] - ave) ** 2


@lru_cache(maxsize=None)
def dfs(x1, y1, x2, y2, cnt):
    if cnt == n - 1:
        return sum_grid(x1, y1, x2, y2)
    res = inf

    for i in range(x1, x2):
        res = min(res, dfs(i + 1, y1, x2, y2, cnt + 1) + sum_grid(x1, y1, i, y2))
        res = min(res, dfs(x1, y1, i, y2, cnt + 1) + sum_grid(i + 1, y1, x2, y2))

    for i in range(y1, y2):
        res = min(res, dfs(x1, i + 1, x2, y2, cnt + 1) + sum_grid(x1, y1, x2, i))
        res = min(res, dfs(x1, y1, x2, i, cnt + 1) + sum_grid(x1, i + 1, x2, y2))

    return res


print("%.3f" % (round(sqrt(dfs(0, 0, 7, 7, 0) / n), 3)))