代码学习记录35

随想录日记part35

$t im e ：$ 2024.04.03

主要内容：今天开始要学习动态规划的相关知识了，今天的内容主要涉及三个方面：
最后一块石头的重量 II ；目标和；一和零。

1049. 最后一块石头的重量 II
494. 目标和
474.一和零

动态规划五部曲：
【1】.确定dp数组以及下标的含义
【2】.确定递推公式
【3】.dp数组如何初始化
【4】.确定遍历顺序
【5】.举例推导dp数组

Topic101最后一块石头的重量 II

题目：

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

输入：
$s t o n es = [2, 7, 4, 1, 8, 1]$
输出： $1$
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

思路：

接下来进行动规五步曲：
1.确定dp数组以及下标的含义:
dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
2.确定递推公式:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
3.dp数组如何初始化
因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量然后除2，得到dp数组的大小。这里就直接用15000了。接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
代码如下：

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int[] dp=new int[1501];
        int sum=0;
        for(int i=0;i<stones.length;i++){
            sum+=stones[i];
        }
        int tem=sum/2;
        for(int i=0;i<stones.length;i++){
            for(int j=tem;j>=stones[i];j--){
                dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum-dp[tem]*2;
    }
}

时间复杂度： $O (n * m)$ ，n为正数个数，m为背包容量
空间复杂度： $O (m)$

Topic2目标和

题目：

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式：例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。

输入： $n u m s = [1, 1, 1, 1, 1], t a r g e t = 3$
输出： $5$
解释：
一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

思路：

本题要如何使表达式结果为target，既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left。公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
按照上面的五个步骤进行分析：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
2.确定递推公式
所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
dp数组状态变化如下：

整体代码如下：

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++)
            sum += nums[i];
        if ((sum + target) % 2 == 1)
            return 0;
        if (Math.abs(target) > sum)
            return 0;
        int left = (sum + target) / 2;
        int[] dp = new int[1001];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = left; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[left];
    }
}

时间复杂度： $O (n * m)$ ，m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数。
空间复杂度： $O (m)$

Topic3目标和

题目：

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集。

输入： $s t rs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3$
输出： $4$
解释：
最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

思路：

按照上面的五个步骤进行分析：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
2.确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
3.dp数组如何初始化
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
5.举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：

整体代码如下：

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int zeronum, onenum;
        for (String str : strs) {
            zeronum = 0;
            onenum = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '1')
                    onenum++;
                if (c == '0')
                    zeronum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeronum; i--) {
                for (int j = n; j >= onenum; j--) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeronum][j - onenum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];

    }
}