【文化课学习笔记】【数学】复数

【数学】复数

定义

规定 \(i^2 = -1\),并称 \(i\) 为虚数单位。则 \(i^3 = -i,i^4 = (i^2)^2 = 1,i^5 = i^4 \cdot i = i\),所以 \(i^k\) 具有周期性,周期为 \(4\)

复数:

\[z = a + bi(a,b \in \mathrm R) \]

其中 \(a\) 为实部,\(b\) 为虚部。注意:\(a\)\(b\) 都是实数

所有复数组成的集合就叫做复数集,即:

\[\mathrm C = \{z|z = a + bi,a,b \in \mathrm R\} \]

四则运算

四则运算的结果必须写为 \(a + bi\) 的形式。

一般地,设 \(z_1 = a + bi,z_2 = c + di(a,b,c,d \in \mathrm R)\),则

\[z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\\ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\\ z_1z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\\ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

对于复数的除法,关键是消去分母的 \(i\),若分母是 \(a + bi\),则可以在分子分母上同乘 \(a - bi\),将分母变为 \(a^2 + b^2\);若分母是 \(ki\)\(k \in \mathrm R\)则可以分子分母同乘 \(i\),将分母变为 \(-ki\)

运算性质

实数的所有运算性质,在复数中均成立

  1. 交换律,结合律和分配律。
  2. 完全平方差公式,平方差公式。
  3. 等式性质。

基本概念

做复数相关题目时,最关键的是要找到 \(a\)\(b\)

一般来说,复数题会给一个较为复杂的式子,需要化简式子并得到 \(a + bi\),然后利用 \(a\)\(b\) 解题。

若题目给定的是抽象复数,即没有给定具体的复数,那么可以考虑设对应复数 \(z = a + bi\),根据基本概念表示出题目中相关的量代入求解。

分类

\[复数(a + bi) \begin{cases} 实数:b=0\\ 虚数:b \ne 0 \begin{cases} 纯虚数:a = 0 ~且~ b \ne 0\\ 实部不为 ~0~ 的虚数:a,b \ne 0 \end{cases} \end{cases} \]

注意:纯虚数需要保证 \(b \ne 0\)

相等复数

实部与虚部都对应相等的复数,即:如果 \(a,b,c,d\) 都是实数,则 \(a + bi = c + di \iff a = c\)\(b = d\)

注意:两个复数,如果步全是实数,则无法比较大小。所以若题目给定两个复数的大小关系,则这两个复数一定都是实数

复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面,一般对于复数 \(z = a + bi\),令 \(Z\) 的坐标为 \((a,b)\),则点 \(Z\) 是复数 \(Z\) 在平面上对应的点的坐标。

复数的几何意义

因为平面直角坐标系中的点 \(Z(a,b)\)唯一确定一个以原点 \(O\) 为始点,\(Z\) 为终点的向量 \(\overrightarrow{OZ}\),所以复数也可用向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 来表示。

因此能在复数集与平面直角坐标系中以 \(O\) 为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即 复数 \(z = a + bi \iff\) 向量 \(\overrightarrow{OZ} = (a,b)\)

复数的模

向量 \(\overrightarrow{OZ} = (a,b)\) 的长度称为复数 \(z = a + bi\) 的模(或绝对值)。复数 \(z\) 的模用 \(|z|\) 表示 ,因此 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

共轭复数

一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数,复数 \(z\) 的共轭复数用 \(\overline{z}\) 表示。读作:\(z\) 共轭。

\(z = a + bi(a,b \in \mathrm R)\) 时,有 \(\overline z = a - bi\)

【几何特点】复平面内表示两个复数的点关于实轴对称 \(\iff\) 两个复数互为共轭复数。

\(|z_1 - z_2|\) 的几何意义

内容

首先,\(|a-b|\) 表示数轴上 \(a,b\) 两点之间的距离。那么类比分析可知,\(|z_1 - z_2|\) 表示复平面上 \(z_1,z_2\) 两点之间的距离。

例如等式 \(|z - 1| = 1\),实际上表示的是与点 \((1,0)\) 距离为 \(1\) 的点的集合,即圆心为 \((1,0)\),半径 \(r = 1\) 的圆。

例题

例:复数 \(z\) 满足 \(|z + i| + |z - i| = 2\),则 \(|z + i + 1|\) 的最小值是多少。

分析:

由于 \(|z + i|\)\(|z - i|\) 分别表示平面内距离 \(A(0,-1)\)\(B(0,1)\) 的点的坐标,设复数 \(z\) 在坐标系上对应的点为 \(P\)。则 \(|PA| + |PB| = 2\),又由于 \(|AB| = 2 = |PA| + |PB|\),所以点 \(P\) 的运动轨迹在线段 \(AB\) 上。

又由于 \(|z + i + i| = |z -(-1 - i)|\),所以其几何意义为点 \(P\)\(C(-1,-1)\) 的距离最小值。画图可知,当 \(CP \perp AB\),即 \(P\)\(A\) 共点时,距离最小,此时最小值为 \(1\)

总结:遇到模长较多的题目,可以考虑将模长翻译成线段长度,从几何上解决问题。

复数的性质

性质一

内容:

\[|z_1z_2| = |z_1||z_2|\\ \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}(z_2 \ne 0) \]

作用:若题目中遇到模长的乘除法,则可以分别计算每个部分的模长,再算乘除法。

例如:

\[\left|\dfrac{3 + 2i}{2 + 3i}\right| = \dfrac{|3 + 2i|}{|2 + 3i|} = 1 \]

注意:这种性质只适用于乘除法,不适用于加减法。一般情况下,\(|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|\)

例题:已知复数 \(z\) 满足 \(\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019} z = \left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3\),则 \(|z|\) 为多少。

分析:

由题意得:

\[z = \dfrac{\left(-\dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3}{\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}} \]

所以

\[\begin{aligned} |z| & = \dfrac{\left|\left(- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right)^3\right|}{\left|\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right)^{2019}\right|}\\ & = \dfrac{\left|- \dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}i\right|^3}{\left|\dfrac{1 + i}{\sqrt 2}\right|^{2019}}\\ & = \dfrac{\left(\sqrt{\left(- \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)^2}\right)^3}{\left(\dfrac{|1 + i|}{|\sqrt 2|}\right)^{2019}}\\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned} \]

性质二

内容:

\[|z| = |\overline z|\\ z \cdot \overline z= |z|^2 \]

即两个共轭复数它们的模长相等,一个复数和它的共轭复数相乘,结果为该复数模长的平方。

适用范围:当题目中同时出现 \(|z|\)\(|\overline z|\) 时可以考虑该性质。

复数的三角形式

对于复数 \(z = a + bi\),其复平面上对应的点为 \(Z(a,b)\),设 \(|z| = r\),向量 \(\overrightarrow{OZ}\)\(x\) 轴的夹角为 \(\theta\),则复数 \(z\) 的三角表示为 \(z = r \cdot \cos \theta + r \cdot \sin \theta \cdot i = r(\cos \theta + i\sin \theta)\)。如图所示。

这里的 \(\theta\) 叫做辐角。任何一个非零复数 \(z\) 的辐角都有无穷多个。特别地,在 \([0,2\pi)\) 内的辐角称为 \(z\)辐角主值,记作 \(\arg z\)

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