前面对 map / multimap / set / multiset 进行了简单的介绍【C++】map & set，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成 O(N)，因此 map、set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1. AVL 树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1（需要对树中的节点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是 AVL 树；
• 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（-1 / 0 / 1）。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个节点，其高度可保持在 $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度是 $O(lo{g}_{2}n)$。

2. AVL 树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}
	
	AVLTreeNode<T>* _pLeft;		// 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight; 	// 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; 	// 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf; 					// 该节点的平衡因子
};

3. AVL 树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点；
2. 调整节点的平衡因子。

bool Insert(const T& data)
{
	// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	// ...
	
	// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
	
	/*
	pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
	的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

	此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1，正负2
		1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
		   成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
		2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
		   新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
		   行旋转处理
	*/

	while (pParent)
	{
		// 更新双亲的平衡因子
		if (pCur == pParent->_pLeft)
			pParent->_bf--;
		else
			pParent->_bf++;
			
		// 更新后检测双亲的平衡因子
		if (0 == pParent->_bf)
		{
			break;
		}
		else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
		{
			// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1或者-1，说明以双亲为根的二叉树
			// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
			pCur = pParent;
			pParent = pCur->_pParent;
		}
		else
		{
			// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
			// 为根的树进行旋转处理
			if (2 == pParent->_bf)
			{
				// ...
			}
			else
			{
				// ...
			}
		}
	}
	return true;
}

4. AVL 树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧 - 左左：右单旋

   

   /*
   	上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
   子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
   树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
   右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
   的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
   	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
   	2. 60可能是根节点，也可能是子树
   	   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
   	   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
   */
   
   void _RotateR(PNode pParent)
   {
   	// pSubL: pParent的左孩子
   	// pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
   	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
   	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
   	
   	// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
   	pParent->_pLeft = pSubLR;
   	// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
   	if (pSubLR)
   		pSubLR->_pParent = pParent;
   		
   	// 60 作为 30的右孩子
   	pSubL->_pRight = pParent;
   	
   	// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
   	PNode pPParent = pParent->_pParent;
   	
   	// 更新60的双亲
   	pParent->_pParent = pSubL;
   	
   	// 更新30的双亲
   	pSubL->_pParent = pPParent;
   	
   	// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
   	if (NULL == pPParent)
   	{
   		_pRoot = pSubL;
   		pSubL->_pParent = NULL;
   	}
   	else
   	{
   		// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
   		if (pPParent->_pLeft == pParent)
   			pPParent->_pLeft = pSubL;
   		else
   			pPParent->_pRight = pSubL;
   	}
   	
   	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
   	pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
   }
   

2. 新节点插入较高右子树的右侧 - 右右：左单旋

   

   实现及情况考虑可参考右单旋。

3. 新节点插入较高左子树的右侧 - 左右：先左单旋再右单旋

   

   将双旋变成单旋后再旋转，即：先对 30 进行左单旋，然后再对 90 进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

   // 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
   void _RotateLR(PNode pParent)
   {
   	PNode pSubL = pParent->_pLeft;
   	PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
   	
   	// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
   	int bf = pSubLR->_bf;
   	
   	// 先对30进行左单旋
   	_RotateL(pParent->_pLeft);
   	
   	// 再对90进行右单旋
   	_RotateR(pParent);
   	
   	if (1 == bf)
   		pSubL->_bf = -1;
   	else if (-1 == bf)
   		pParent->_bf = 1;
   }
   

4. 新节点插入较高右子树的左侧 - 右左：先右单旋再左单旋

   

   参考左右双旋。

总结：

假如以 pParent 为根的子树不平衡，即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2，分以下情况考虑：

1. pParent 的平衡因子为 2，说明 pParent 的右子树高，设 pParent 的右子树的根为 pSubR：

   • 当 pSubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋；
   • 当 pSubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋。

2. pParent 的平衡因子为 -2，说明 pParent 的左子树高，设 pParent 的左子树的根为 pSubL：

   • 当 pSubL 的平衡因子为 -1 时，执行右单旋；
   • 当 pSubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋。

旋转完成后，原 pParent 为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

5. AVL 树的验证

AVL 树是再二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证 AVL 树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

2. 验证其为平衡树

   • 每个节点子树高度差的绝对值不超过 1（注意节点中如果没有平衡因子）；

   • 节点的平衡因子是否计算正确。

     int _Height(PNode pRoot);
     bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
     {
     	// 空树也是AVL树
     	if (nullptr == pRoot) return true;
     	
     	// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
     	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
     	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
     	int diff = rightHeight - leftHeight;
     	
     	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
     	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
     		return false;
     		
     	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
     	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -> _pRight);
     }
     

3. 验证用例

   • 常规场景

     { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }

   • 特殊场景

     { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }

     

6. AVL 树的删除

因为 AVL 树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

7. AVL 树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $lo{g}_2(N)$。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的时在删除时，又可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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END