Leetcode - 343：整数拆分

题目：

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

笔记：

按照动规五部曲来思考：

（1）确定dp数组含义：

dp[i]表示拆分整数i的最大成绩和

（2）初始化dp数组：

dp[0] = 0,dp[1] = 1, dp[2] = 1

（3）确定状态转移方程：

由于我们在拆分的时候做选择：一个是我们可以选择两个数来做比较，一个我们可以将被减数在做拆分用被减数的最大字元素乘积，也就是我们可以选择拆掉被减数或者不拆被减数：

dp[i] = max(dp[i],max(dp[i - j] * j + (i - j) * j)

（3）遍历顺序：

从小到大遍历即可

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - j] * j, (i - j) * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

这里我们需要注意的是第二个max才是体现我们动态规划思想的重要一步。

为什么不拆分j呢；因为j的拆分已经在第一层for循环求过了。

Leetcode - 96:不同的二叉搜索树

题目：

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

笔记：

这道题是真的难，

（1）确定dp数组含义：dp[i]表示i个元素的二叉搜索树的种类。

（2）初始化，dp[0] = 1

（3）状态转移方程：这里我们用到了两层循环，外层循环是求目标数，内层循环是选取不同的节点作为头结点，各自的搜索树数量。以m为头结点的搜索树，其左子树有m-1个元素，其右节点有n-m个（减去头节点）。然后因为是求组合数所以两者相乘即得。

dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};