题目描述

小明需要在一篇文档中加入 N 张图片，其中第 i 张图片的宽度是 Wi，高度是 Hi。
　　假设纸张的宽度是 M，小明使用的文档编辑工具会用以下方式对图片进行自动排版：

1. 该工具会按照图片顺序，在宽度 M 以内，将尽可能多的图片排在一行。该行的高度是行内最高的图片的高度。例如在 M=10 的纸张上依次打印 3x4, 2x2, 3x3 三张图片，则效果如下图所示，这一行高度为4。(分割线以上为列标尺，分割线以下为排版区域；数字组成的矩形为第x张图片占用的版面)
　
2. 如果当前行剩余宽度大于0，并且小于下一张图片，则下一张图片会按比例缩放到宽度为当前行剩余宽度(高度向上取整)，然后放入当前行。例如再放入一张4x9的图片，由于剩余宽度是2，这张图片会被压缩到2x5，再被放入第一行的末尾。此时该行高度为5：

3. 如果当前行剩余宽度为0，该工具会从下一行开始继续对剩余的图片进行排版，直到所有图片都处理完毕。此时所有行的总高度和就是这 N 张图片的排版高度。例如再放入11x1, 5x5, 3x4 的图片后，效果如下图所示，总高度为11：

现在由于排版高度过高，图片的先后顺序也不能改变，小明只好从 N 张图片中选择一张删除掉以降低总高度。他希望剩余N-1张图片按原顺序的排版高度最低，你能求出最低高度是多少么？

输入：
第一行包含两个整数 M 和 N，分别表示纸张宽度和图片的数量。
　　接下来 N 行，每行2个整数Wi, Hi，表示第 i 个图大小为 Wi*Hi。

对于30%的数据，满足1<=N<=1000
　　对于100%的数据，满足1<=N<=100000，1<=M, Wi, Hi<=100

输出：
一个整数，表示在删除掉某一张图片之后，排版高度最少能是多少。

样例输入1：
4 3
2 2
2 3
2 2
样例输出1：
2
 

 思路：要删去一张图片，使高度最小，无非是遍历N张图片，判断第i个图片不选是否拥有更小的高度。

可以分割一下状态，例如第i行中图片j，判断不选图片j的高度，可以由三个状态组成：

①前i-1行的总高度，这是固定的，在遍历过程就可以知道；

②i+1行以后的总高度，这个要怎么得到呢，可以知道，i+1行开头肯定是新的照片k，我从那张照片k开始遍历到最后一张照片，所得的高度一定是确定的，可以设置一个数组t[i]保留i照片以及以后的高度。

③此时不选j，第i行的高度，想要求这个可以定义一个calc函数，实现向行中添加图片，直到添加完全部图片或者宽度已达最大，求出该行的高度（再加上t[i]就成了第i行以及以后所有行的总高度），为了实现calc函数，还得定义一个solve函数，solve函数的目的是判断加了一张图片，该行的宽度和高度变化。

很明显用了动态规划的思想，他有状态转移关系，问题被细分为了多个子问题，把处理全部细分为了处理行。

这种方法适用于一些题目，题目中总体只修改了部分结构，只需要处理那部分被修改的状态，其余的部分可以通过处理得到，视为常量。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int m,n,h[N],w[N],t[N];
void solve(int i,int& W,int& H){
	if(W+w[i]<=m){ 
		H=max(H,h[i]); 
	}else{
		H=max(H,(h[i]*(m-W)+w[i]-1)/w[i]);
	}
	W=min(m,W+w[i]);
} 
int calc(int i,int W,int H){
	while(i<n&&W<m)solve(i++,W,H); 
	return H+t[i];
}
int main(){
	cin>>m>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>w[i]>>h[i];
	for(int i=n-1;i>=0;i--)t[i]=calc(i,0,0);
	int res=t[0],pre_h=0,W=0,H=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int tmp=calc(i+1,W,H);
		res=min(res,pre_h+tmp);
		solve(i,W,H);
		if(W==m)pre_h+=H,W=0,H=0;
	} 
	cout<<res<<endl;
} 

加了注释后： 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int m,n,h[N],w[N],t[N];//m为每行最大宽度，n为图片数量，h为每张图片对应高度，w为每张图片对应宽度，t[i]为以i图片为开始，与他以后所有的图片组合，形成的最小高度（一定是以i为行头开始）
void solve(int i,int& W,int& H){//找出加入i元素后，该行的高度和宽度所发生的变化 
	if(W+w[i]<=m){//没超出最大宽度 
		H=max(H,h[i]); 
	}else{
		H=max(H,(h[i]*(m-W)+w[i]-1)/w[i]);//为什么要加w[i]-1，因为他要向上取整，所以要加一个小数，即(w[i]-1)/w[i]
	}
	W=min(m,W+w[i]);
} 
int calc(int i,int W,int H){//求出加入i以及他后边所有图片后，总高度的变化 
	while(i<n&&W<m)solve(i++,W,H);//只要算一行的，另起一行的可以直接由t[i]得到 
	return H+t[i];//为什么这里是H+t[i]，因为之前的一行可能已经有照片了，我先填满那一行，拿到那一行的高度即H，然后之后的元素就另起一行了，对应t[i],所以t[i]是需要预处理的，所以总的高度为H+t[i] 
}
int main(){
	cin>>m>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)cin>>w[i]>>h[i];
	for(int i=n-1;i>=0;i--)t[i]=calc(i,0,0);//W=0，H=0，说明要求的是以i照片开头的，与它以后所有的图片组合形成的最小高度，预处理阶段，不预处理，以后可能有重复的求解过程
	int res=t[0],pre_h=0,W=0,H=0;//res先取t[0]，是代表所有图片都取了后它的高度， pre_h为 之前已经统计了的行的高度，正在统计的不算 
	for(int i=0;i<n;i++){
		int tmp=calc(i+1,W,H);//计算出加入i+1以及之后的所有图片后，总高度的变化，不包括i，这就对应了删除一张图片的思想 
		res=min(res,pre_h+tmp);//前者为之前统计出的最小高度，后者为不要i照片的最小高度 
		solve(i,W,H);//加入i照片
		if(W==m)pre_h+=H,W=0,H=0;//此时已经充满一行，那就得另起一行了，所以pre_h要+H，H和W要清零 
	} 
	cout<<res<<endl;
}