例题引入： 路径——蓝桥2021省赛

题目分析

• 求最短路径
• 求最小公倍数

题解

！！！求最短路径问题！！！

• 求最短路径—》会想到什么解题思路？
• 我最先想到的是：dfs和bfs（最短路径，这俩求解肯定没问题）
• 然后我又想到了dp（动态规划）：因为有初始状态和最后一步（求两点之间的最短路径）。那我要是用dp[i]表示到i点的最短路径，有没有可能写出状态转移方程呢？
  但因为我知道最短路径问题有现成的算法去解题，所以，先学一下吧。
  至于dp能不能解的出来，怎么解，之后有时间我再回来研究。

应用场景

• 管道铺设，线路安装，地图规划等路径问题
• 例：
  • 旅行规划：想知道任意两个城市之间的最短路径——用Floyd算法

图的基础

时间来不及，先整个大纲。之后会补充 重点先放在两个算法上

• 图的基本概念（可对应好友关系）
  • 顶点：用户
  • 边：俩用户是好友，那俩人之间就有一条边连着
  • 度：某用户的好友数量。有向图中，还分入度（指进来的）和出度（指出去的）
  • 无向图和有向图
    • 无向图：没箭头的图（不关注指哪）
    • 有向图：有箭头的图（关注二者间关系的）
  • 无权图和有权图
    （权就是指，俩人的亲密度）
    • 无权图：没数字的（不关注关系的亲密度）
    • 有权图：有数字的（关注俩人的亲密度）

这是一个带权的有向图（图片来自：JavaGuide）

• 图的存储
  存一个图最简单的方式就是——存到一个二维数组里（优点：找顶点间关系高效；缺点：费空间）

像这样（图片来自：JavaGuide）

Floyd算法

Acwing-843.有边数限制的最短路

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，

简单的思路讲解

求任意两点间的最短路径问题（如图）

• 先来想

• 假设我们要求顶点1到顶点3间的最小路径 首先，1到3 自己就有一条权值为6的路径
• 然后，通过图 可以很明显的知道，1到3，可以通过在顶点2中转 到达，其路径值为2+3=5；
• 而5<6 这时，需要更新1到3的最短路径为5

归纳一下：

• 在找任意两点间的最短路径时，显然是不仅要找直接路径，还要找从中转点到达的路径，比较之后，才能得出两点间的最短路径
• 而中转点基本上都不止一个—》怎么有逻辑的给他表示出来呢？

• 我们来推一下

• 我们用e[n+1][n+1] 来存放这个图(因为for循环中用1~n比较好表示），其中，e[i][j] 表示i到j的最短路径
• 假设现在只允许经过顶点1中转，求任意两点（i到j）的最短路径
  –》只需要判定e[i][1]+e[1][j] 是否比 e[i][j]小 即可

• 怎么写
  //经过顶点1中转

//经过顶点1中转
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		if(e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]){
			e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];
		}

//同理，经过顶点1和顶点2中转呢？

//经过顶点1
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		if(e[i][j] > e[i][1] + e[1][j]){
			e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];
		}	
//经过顶点2
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		if(e[i][j] > e[i][2] + e[2][j]){
			e[i][j] = e[i][2] + e[2][j];
		}

//同理，经过3,4顶点也是这样
//把他们合并到一块写

for(int k=1;k<=n;k++)	//依次经过1~n中的第k个点进行中转
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(e[i][j] > e[i][k] + e[k][j]){
				e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
			}

Dijkstra算法