引言

今天我们实现一个简单的神经网络
俩个输入神经元 隐藏层两个神经元 一个输出神经元
激活函数我们使用sigmoid
优化方法使用梯度下降

我们前期准备是需要把这些神经元的关系理清楚
x1：第一个输入
x2：第二个输入
w11_1：第一层的第一个神经元在第一个输入上的权重
w12_1：第一层的第二个神经元在第一个输入上的权重
b1_1：第一层第一个神经元的偏置项（截距）
z1_1：第一层第一个神经元的线性函数
a1_1：第一层第一个神经元的激活函数
w21_1：第一层的第一个神经元在第一个输入上的权重
w22_1：第一层的第一个神经元在第一个输入上的权重
b2_1：第一层第二个神经元的偏置项（截距）
z1_1：第一层第二个神经元的线性函数
a1_1：第一层第二个神经元的激活函数
w11_2：第二层的第一个神经元在第一个输入上的权重
w21_2：第二层的第二个神经元在第一个输入上的权重
b1_2：第二层第一个神经元的偏置项（截距）
z1_1：第二层第一个神经元的线性函数
a1_1：第二层第一个神经元的激活函数
e：损失函数

测试数据

dataset 可以使用西瓜书89页的西瓜数据集3.0α

代码

import numpy as np
import sympy
import dataset
from matplotlib import pyplot as plt


def sigmod(b):
    return 1 / (1 + np.exp(-b))


xs, ys = dataset.get_beans(100)  # 获取数据
plt.title("Size-Toxicity Funciton", fontsize=12)  # 设置图片的标题
plt.xlabel("Bean Size")  # 设置行标签
plt.ylabel("Toxicity")  # 设置列标签

plt.scatter(xs, ys)  # 画散点图

"""
命名规则
下划线后面的数字表示被输入的神经元所在的层数
字母后面的数字表示第一个数字表示第几个输入
第二个数字表示被输入的神经元在他所在层数的位置
"""
# 第一层
# 第一个神经元
w11_1 = np.random.rand()
b1_1 = np.random.rand()
# 第二个神经元
w12_1 = np.random.rand()
b2_1 = np.random.rand()
# 第二层
w11_2 = np.random.rand()
w21_2 = np.random.rand()
b1_2 = np.random.rand()


# 前向传播 代价函数 y0 = 1/(1+e^(-(wx+b)))
def forward_propgation(xs):
    z1_1 = w11_1 * xs + b1_1
    a1_1 = sigmod(z1_1) # 第一层第一个神经元的代价函数值

    z2_1 = w12_1 * xs + b2_1
    a2_1 = sigmod(z2_1)  # 第一层第二个神经元的代价函数值

    z1_2 = w11_2 * a1_1 + w21_2 * a2_1 + b1_2
    a1_2 = sigmod(z1_2)   # 第二层第一个神经元的代价函数值
    return a1_2, z1_2, a2_1, z2_1, a1_1, z1_1



a1_2, z1_2, a2_1, z2_1, a1_1, z1_1 = forward_propgation(xs)
# plt.plot(xs, a1_2)
# plt.show()

# 随机梯度下降
for j in range(5000):
    for i in range(100):
        x = xs[i]
        y = ys[i]
        # 先来一次前向传播
        a1_2, z1_2, a2_1, z2_1, a1_1, z1_1 = forward_propgation(x)
        # 开始反向传播
        # 误差代价函数e
        """
            z1_1 = w11_1 * xs + b1_1
            a1_1 = sigmod(z1_1) # 第一层第一个神经元的代价函数值

            z2_1 = w12_1 * xs + b2_1
            a2_1 = sigmod(z2_1)  # 第一层第二个神经元的代价函数值

            z1_2 = w11_2 * a1_1 + w21_2 * a2_1
            a1_2 = sigmod(z1_2)   # 第二层第一个神经元的代价函数值
        """
        e = (y - a1_2) ** 2  # 误差e = (y - 最后一个神经元得出的值)^2
        deda1_2 = -2*(y - a1_2)  # 对a1_2 第二层的第一个神经元的函数求导
        da1_2dz1_2 = a1_2 * (1 - a1_2)  # da1_2对dz1_2求导数
        dz1_2dw11_2 = a1_1  # dz1_2对w11_2求导数
        dz1_2dw21_2 = a2_1  # dz1_2对dw21_2求导
        dedw11_2 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2dw11_2  # de对dw11_2求偏导
        dedw21_2 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2dw21_2  # de对dw21_2求偏导
        dz1_2db1_2 = 1  # z1_2对db1_2求偏导
        dedb1_2 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2db1_2  # de对db1_2求偏导

        dz1_2da1_1 = w11_2  # dz1_2对da1_1求偏导
        da1_1dz1_1 = a1_1 * (1 - a1_1)  # da1_1对dz1_1 求偏导
        dz1_1dw11_1 = x  # dz1_1对dw11_1求偏导
        dedw11_1 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2da1_1 * da1_1dz1_1 * dz1_1dw11_1  # e对w11_1求导
        dz1_1db1_1 = 1  # z1_1对b1_1求导
        dedb1_1 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2da1_1 * da1_1dz1_1 * dz1_1db1_1  # e对b1_1求导

        dz1_2da2_1 = w21_2  # z1_2 对a2_1 求导
        da2_1dz2_1 = a2_1 * (1 - a2_1)  # a2_1 对z2_1求导
        dz2_1dw12_1 = x  # z2_1对w12_1
        dedw12_1 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2da1_1 * da2_1dz2_1 * dz2_1dw12_1  # e对w12_1求导
        dz2_1db2_1 = 1  # z2_1 对 b2_1求导
        dedb2_1 = deda1_2 * da1_2dz1_2 * dz1_2da1_1 * da2_1dz2_1 * dz2_1db2_1  # e 对 b2_1求导

        alpha = 0.03
        w11_2 = w11_2 - alpha * dedw11_2  # 调整w11_2
        w21_2 = w21_2 - alpha * dedw21_2  # 调整21_2
        b1_2 = b1_2 - alpha * dedb1_2  # 调整b1_2

        w12_1 = w12_1 - alpha * dedw12_1  # 调整w12_1
        b2_1 = b2_1 - alpha * dedb2_1  # 调整 b2_1

        w11_1 = w11_1 - alpha * dedw11_1  # 调整 w11_1
        b1_1 = b1_1 - alpha * dedb1_1  # 调整b1_1
    if j % 100 == 0:
        plt.clf()  # 清空窗口
        plt.scatter(xs, ys)
        a1_2, z1_2, a2_1, z2_1, a1_1, z1_1 = forward_propgation(xs)
        plt.plot(xs, a1_2)
        plt.pause(0.01)  # 暂停0.01秒