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0. 前言

随机游走

1. 概念

1.1 例1

在你的饮食俱乐部度过了一个富有成效的晚上后，你在不太清醒的状态下离开了。因此，你会醉醺醺地在展望大道上闲逛。首先，你可能会随机向右走一步。然后，忘记你在哪里，你可能会向左转一步。完全迷失了方向，你又随机迈出了一步…例如，对于一些步骤，您可能最终会像这样走

让我们把它当作一个随机过程来建模。饮食俱乐部的位置是S_0(你在零步后的初始位置)。在第k步中，移动的量为$X_k$，可以是正的，也可以是负的(取决于向左还是向右移动)。n步后的位置$S_n$由

$$S_n=S_0+x_1+...+X_n$$

当你喝醉的时候，你会完全忘记你每走一步都在哪里。因此，我们对步骤$X_1$, $X_2$，…进行建模。为独立同分布(i.i.d)随机变量，与初始位置$S_0$无关。这给了我们第一个随机漫步的例子

1.2 例2

假设你和你的朋友玩下面的游戏。在每一轮中，每个玩家下注1美元，并独立地投掷一枚均匀硬币。如果硬币正面朝上，那么你赢了，也就是说，你拿回你的1美元，同时你也得到你朋友的1美元。如果硬币反面出现，那么你的朋友就赢了钱。你反复玩这个游戏，直到你们中的任何一个人决定是时候减少损失了

为了将你在游戏中的财富建模为一个随机过程，让我们假设你以50美元的初始财富开始游戏。请注意，你在每一轮的净收益是+1或1。让Xi成为你在第i轮的净收益。因为硬币是公平的，你输或赚1美元的概率是一样的

$$P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$$

我们假设，$S_0$, $X_1$, $X_2$，…是独立的。因此，第n轮之后的财富$S_n$由,

$$S_n=S_0+x_1+...+X_n$$

一个可能的结果如下：

在这两个例子中，我们从起始点S0开始，制作了一系列独立同分布(i.i.d)步骤$X_k$。这样的过程被称为随机漫步。在第二个例子中，随机漫步只产生大小为1的步的情况特别重要;这叫做简单随机漫步。

1.3 定义

定义如下：

随机游走$S_n,n\ge 0$为随机过程

$$S_n=S_0+x_1+...+X_n$$
其中，$X_1,X_2,...$是独立同分布(i.i.d)随机变量，与$S_0$无关。

2. 边界

2.1 会达到边界吗？

我们必须研究的第一个问题是，随机漫步是否真的会碰到边界 { a , b } \{a, b\} {a,b}，也就是说，是否 $T<\infty$ 。当然，到达边界的概率原则上可能取决于起始点S0。因此，让我们引入函数:

$$f(i):=P(T=\infty ,S_0=i),a\le i\le b$$

也就是说，$f(i)$ 是我们从未碰到边界a或b中的任何一个的概率 (换句话说，随机漫步永远严格地停留在这两个边界之间)，假设我们从点$S0=i$ 开始。我们想要计算这些概率。为此，我们将引入一个非常有用的工具来研究随机漫步的行为:第一步分析(the first-step analysis)

让我们首先解释一下第一步分析背后的思想。假设我们从点$a<i<b$严格地在边界之间开始。那么我们能到达边界的最早时间是在随机漫步的一步之后。此外，由于这是一个简单的对称随机漫步，在一步之后，我们可能到达的位置只有两个，每个位置出现的概率都是相等的:

因为随机漫步的每一步都是独立同分布的，所以随机漫步在每一步之后都会在当前位置重新开始。举个例子，如果在第一步中我们从$i\to i+1$开始，那么从这一点开始，随机漫步就像从i+1开始的随机漫步一样。特别地，第一步是$i\to i+1$，那么之后不到达边界的概率是f (i + 1)，对于其他可能的步骤也是如此

如图，我们可以得到：

$$f(i)=P(T=\infty |S_1=i+1,S_0=i)P(S_1=i+1|S_0=i)+P(T=\infty |S_1=i-1,S_0=i)P(S_1=i-1|S_0=i)$$

其中，
$$P(S_1=i+1|S_0=i)=\frac{1}{2}P(S_1=i-1|S_0=i)=\frac{1}{2}$$

同时，有
$$\begin{array}{r}P(T=\infty |S_1=i+1,S_0=i)=f(i+1)\\ P(T=\infty |S_1=i-1,S_0=i)=f(i-1)\end{array}$$

因此，

$$f(i)=\frac{1}{2}f(i+1)+\frac{1}{2}f(i-1),a<i<b$$

另一方面，假设我们从S0 = a或S0 = b开始，那么我们一开始就已经从边界开始了，所以我们从未到达边界的概率为零。特别地，这意味着f (a) = f (b) = 0。因此，我们的第一步分析使我们得到以下等式

$$\{\begin{array}{l}f(i)=\frac{1}{2}f(i+1)+\frac{1}{2}f(i-1),a<i<b\\ f(a)=f(b)=0\end{array}$$

通过变换方程我们知道，f(i)位于f(i-1)和f(i+1)中间位置。同时，在一条直线上。

所以，f(i)是直线。又,f(a)=f(b)=0，可得f(i)=0：

$$P(T=\infty |S_0=i)=0,foralla\le i\le b$$

所以，随机漫步最终总是到达a或b，而不管它的起点是什么。

2.2 会达到哪一个边界

既然我们知道我们最终总会碰到边界a或b中的一个，我们可能想知道我们先碰到哪一个?例如，在赌博问题中，$T<\infty$表示你最终要么赢得100美元要么破产。在实践中，您可能对这些结果中哪一种更有可能发生非常感兴趣。

为了深入了解这个问题，让我们用数学术语来表达它。在我们到达a或b的第一时间T，值$S_T$显然必须是a或b。我们感兴趣的是计算$S_T=b$的概率，比如(在这种情况下，随机行走在到达a之前到达b)。由于这个概率可能再次取决于我们开始随机行走的位置，让我们定义这个函数

$$r(i):=P(S_T=b|S_0=i)$$

为了计算r(i)，我们可以再次使用第一步分析。如果a < i < b，那么一步之后我们可以最早到达其中一个边界。一步之后，我们在i + 1或i -1处的概率相等，在a之前到达b的概率分别由r(i + 1)和r(i - 1)给出。正如上文所述，我们因此发现

$$r(i)=\frac{1}{2}r(i+1)+\frac{1}{2}r(i-1),a<i<b$$

这里不同的是边界条件。在这种情况下，如果我们从S0 = b开始，那么我们显然会在a之前到达b(因为我们已经从b开始了!)，所以r(b) = 1。另一方面，如果S0 = a，那么显然a在b之前，所以r(b) = 0。因此，我们得到以下线性方程

$$\{\begin{array}{l}r(i)=\frac{1}{2}r(i+1)+\frac{1}{2}r(i-1),a<i<b\\ f(a)=0,f(b)=1\end{array}$$

同样，我们可以通过变换方程将r(i)表示为一条直线。同时r(a)=0,r(b)=1,如下：

最终公式如下：

$$P(S_T=b|S_0=i)=r(i)=\frac{i-a}{b-a},a\le i\le b$$

我们越接近b，我们越有可能在a之前碰到b，而我们越接近a，我们越有可能在b之前碰到a，这和直觉上一致。

上面的赌博游戏，直到你破产或达到100美元的财富。让它成为游戏结束的时间。我们已经证明了$T<\infty$(游戏最终结束)，你获得100美元的概率是:

$$P(S_T=100|S_0=i)=\frac{i}{100},0\le i\le 100$$

即，如果你开始有i美元，你最终有100美元的概率是i/100。

让我们计算一下期望，

$$E(S_T|S_0=i)=0\ast P(S_T=0|S_0=i)+100\ast P(S_T=100|S_0=i)=i$$

最终，你的拥有的钱和初始状态一样。