【Leetcode每日一题】动态规划 - 解码方法（难度⭐）（43）

1. 题目解析

题目链接：91. 解码方法

这个问题的理解其实相当简单，只需看一下示例，基本就能明白其含义了。

2.算法原理

这是一道类似斐波那契数列的题目~

当我们遇到一个类似斐波那契数列的问题时，我们通常会想到使用动态规划（DP）来求解。动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题，并保存子问题解以便复用的算法思想。在解码字符串的问题中，我们同样可以采用这种方法。

1. 状态定义

首先，我们需要明确问题的状态。在这里，我们定义dp[i]为字符串中从第0个字符到第i个字符这一段区间上，所有可能的解码方法的数量。这样，当我们求出dp[n]（其中n是字符串的长度）时，就得到了整个字符串的解码方法数。

2. 状态转移

接下来，我们要分析dp[i]是如何从前面的状态转移过来的。考虑到第i个字符，我们有两种可能的解码方式：

单独解码第i个字符：当第i个字符是'1'到'9'之间的数字时，它可以单独解码成一个字母。此时，字符串从第0个字符到第i个字符的解码方法数就等于从第0个字符到第i-1个字符的解码方法数，因为我们可以将前面所有的解码方法都加上这个单独的字符。即dp[i] += dp[i-1]。
与前一个字符结合解码：如果第i-1个字符和第i个字符组合起来在'10'到'26'之间（表示一个有效的两位数字），那么它们可以合并解码成一个字母。此时，字符串从第0个字符到第i个字符的解码方法数就等于从第0个字符到第i-2个字符的解码方法数，因为我们可以将前面所有的解码方法都加上这个两位数字。即dp[i] += dp[i-2]。

需要注意的是，如果第i个字符是'0'，那么它不能单独解码成一个字母，必须与前一个字符结合。如果结合后的数字不在'10'到'26'之间，那么这段字符串就无法解码，此时dp[i]应该保持为0。

3. 初始化

在开始计算之前，我们需要对dp数组进行初始化。由于我们的状态转移依赖于dp[i-1]和dp[i-2]，所以至少需要初始化前两个位置的值。

对于dp[0]：如果字符串的第一个字符是'0'，那么整个字符串无法解码，dp[0]应该为0；否则，至少有一种解码方法（即单独解码第一个字符），dp[0]应该为1。
对于dp[1]：我们需要考虑第一个和第二个字符的组合。如果第二个字符是'1'到'9'，那么它可以单独解码，此时dp[1]应该加上dp[0]；如果第一个字符和第二个字符组合起来是一个有效的两位数字，那么也应该有一种解码方法，此时dp[1]应该再加1。

3.代码编写

class Solution 
{
public:
    int numDecodings(string s) 
    {
        int n = s.size();
        vector<int> dp(n);

        dp[0] = s[0] != '0';
        if(n == 1) return dp[0];

        if(s[0] != '0' && s[1] != '0') dp[1]++;
        int t = (s[0] - '0') * 10 + (s[1] - '0');
        if(t >= 10 && t <= 26) dp[1]++;

        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            if(s[i] != '0') dp[i] += dp[i - 1];
            int m = (s[i - 1] - '0') * 10 + (s[i] - '0');
            if(m >= 10 && m <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
};