在ESKF中，将两个GNSS观测之间的IMU数据进行积分，作为ESKF的预测过程。

这种做法把IMU数据看成某种一次性的使用方式：将它们积分到当前估计值上，然后用观测数据更新当时的估计值。

这种做法和此时的状态估计值有关。如果状态量发送了改变，能否重复利用这些IMU数据呢？

从物理意义上看，IMU反映的是两个时刻间机器人的角度变化量和速度变化量。如果希望IMU的计算与当时的状态估计无关，那么在算法上应该如何处理呢？则需要用到预积分了。

预积分：是一种十分常见的IMU数据处理方法。
与传统的IMU运动学积分不同，预积分可以将一段时间内的IMU测量数据累积，建立预积分测量，同时还能保证测量值与状态变量无关。
如果以吃饭来比喻的话，ESKF像是一口口地吃菜，而预积分则是从锅里先把菜一块块夹到碗里，再把碗里的菜一口气吃掉。

无论是LIO系统还是VIO系统，预积分已经称为诸多紧耦合IMU系统的标准方法。

IMU状态预积分的定义

在一个IMU系统里，考虑它的五个变量：

• 旋转R
• 平移p
• 角速度w
• 线速度v
• 加速度a

这些变量的运动学关系可以写成：

在t到$t+\Delta t$ 时间内，对上式进行欧拉积分，可得：

其中，角速度和加速度可以被IMU测量到，但受噪声与重力影响。
令测量值为 $\tilde{\omega }$ 和$\tilde{a}$ ，则有噪声与零偏与重力的测量公式如下：

其中$b_g$和 $b_a$为陀螺仪和加速度零偏
${\eta }_g$和${\eta }_a$为测量的高斯噪声

用测量值表示t到$t+\Delta t$ 的运动关系，即测量值与状态变量的关系：

其中，${\eta }_{gd}$和${\eta }_{ad}$是离散化后的随机游走噪声:

可以用这种约束来构建图优化，对IMU相关问题进行求解。但是这组方程刻画的时间太短，仅包含单个IMU数据。
IMU的测量频率太高，并不希望优化过程随着IMU数据进行调用，那样太浪费计算资源。
更希望将这些IMU测量值组合在一起处理。

下面介绍如何在关键帧之间对IMU进行预积分。

假设离散时间i和j之间的IMU数据被累积，这个过程可以持续几秒。这种被累积的观测被称为预积分。

在i至j的过程中，可以把变量累计得到

其中$△t_{ij}={\sum }_{k=i}^{j-1}△t$，为累积的时间。

在已知i时刻状态和所有测量时，该式可以用于推断j时刻的状态。这就是传统意义上的直接积分。

直接积分的缺点是，它描述的过程和状态量有关。如果对i时刻状态进行优化，那么i+1,i+2,…j-1时刻的状态也会跟着发送改变，这个积分就必须重新计算，这是非常不便的。

将上式间改变，将IMU读数放在一侧，状态量放到另一侧，定义相对的运动量为

这种改变实际上只是计算了某种从i到j的“差值”。它们虽然写作p.v.R的形式，但并不直接是位移、速度、旋转的物理量，而是人为定义的变量。最左边的就是预积分量

这个定义在计算上有一下性质：

• 不妨考虑从i时刻出发，此时这三个量都为零。在i+1时刻，计算出计算出$△R_{i,i+1},△v_{i,i+1},△p_{i,i+1}$。在i+2时刻，由于这三个式子都是累乘或累加的形式，只需在i,i+1时刻的结果上，加上第i+2时刻的测量值即可。这个计算层面带来了很大的便利。还会发现这种性质便于后续计算各种雅克比矩阵。
• 从等号最右侧来看，上述所有计算都和R，v，p的取值无关。即使它们的估计值发送改变，也无须重新计算IMU的积分量。
• 如果零偏$b_{a,k}$或 $b_{g,k}$发送变化，那么上式理论上还需要重新计算。然后，也可以通过修正而非重新计算的思路调整预积分量。
• 预积分量并没有直接的物理含义。尽管符合上用了 $△v$，$△p$之类的表示，但它并不表示某两个速度或位置上的偏差。它只是如此定义而已。当然，从量纲上来说，应该与角度、速度、位移对应。
• 由于预积分量不是直接的物理量，这种测量模型的噪声必须从原始的IMU噪声推导而来。