一、最长回文子序列

链接：力扣

描述：给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

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思路如下：对于回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的，回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动态规划五部曲分析如下：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2、确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3、dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和 j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

4、确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

对于j的话，可以正常从左向右遍历。

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

5、举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

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代码如下：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) 
    {//dp[i][j]:在区间s[i]和s[j]之间的最长回文子序列的长度
        vector<vector<int>>dp(s.size(), vector<int>(s.size()));
        //初始化
        for (int i = 0; i < s.size(); i++)
        {
            dp[i][i] = 1;//i和j相等的时候的最长回文子序列的长度为1
        }
        for (int i = s.size()-1; i>=0; i--)
        {//从下到上遍历
            for (int j = i+1; j < s.size(); j++)
            {//从左向右遍历,因为i和j相等的时候已经进行了初始化，因此j需要从i+1算起
                if (s[i] == s[j])
                {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                }
                else
                {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};

运行如下：

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二、回文子串

链接：力扣

描述：给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

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思路如下：

动规五部曲：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么，就应该如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果定义，dp[i]为下标i结尾的字符串有dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以要看回文串的性质。 如图：

在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]））是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2、确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

当s[i]与s[j]不相等的时候，在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

3、dp数组如何初始化

dp[i][j]初始化为false。

4、确定遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

5、举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

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代码如下：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s)
    {//dp[i][j]：以[i,j]为区间的子字符串是否是回文串
        vector<vector<bool>>dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;//记录回文子串的个数
        //遍历顺序是从下往上，从左往右
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = i; j < s.size(); j++)
            {
                if (s[i] == s[j])
                {//相同的元素的情况
                    if (j - i <= 1)
                    {
                        //只有一个或者两个元素的子串
                        //此时是回文子串
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                    else
                    {
                        //此时子串的长度大于2
                        if (dp[i + 1][j - 1] == true)
                        {
                            //是回文子串
                            result++;
                            dp[i][j] = true;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

运行如下：