代码学习第24天----回溯算法

随想录日记part24

$t im e ：$ 2024.03.10

主要内容：回溯算法在代码学习中尤其重要，所以今天继续加深对其的理解：1：递增子序列；2.全排列；3.全排列II

491.递增子序列
46.全排列
47.全排列 I

Topic1递增子序列

题目：

给你一个整数数组 $n u m s$ ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中至少有两个元素。你可以按任意顺序返回答案。数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

输入： $n u m s = [4, 6, 7, 7]$
输出： $[[4, 6], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [4, 7], [4, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7, 7]]$

思路：

本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。所以不能使用之前的去重逻辑！
用 $[4, 7, 6, 7]$ 这个数组来举例，抽象为树形结构如图：
按照回溯模板我们进行回溯三部曲：

递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义一个全局变量 $res u lt$ 用来存放符合条件结果的集合。回溯函数里需要一个参数为 $in t$ 型变量 $s t a r t I n d e x$ ，来表示索引，
所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果
List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列
void reback(int[] nums, int startIndex)

2.回溯函数终止条件
题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下
代码如下：

if (path.size() >= 2) {
	result.add(new ArrayList(path));
        }
if (startIndex >= nums.length) {
    return;
        }

3.回溯搜索的遍历过程
然后就是递归和回溯的过程：

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了。

实现代码使用 $H a s h S e t$ 实现如下：

    HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
 	for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            // 去重
 		if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))
                continue;
 			hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            reback(nums, i + 1);
            path.removeLast();
     }

完整的代码如下：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果
    List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列

    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        reback(nums, 0);
        return result;
    }

    private void reback(int[] nums, int startIndex) {// 回溯函数
        if (path.size() >= 2) {
            result.add(new ArrayList(path));
        }
        if (startIndex >= nums.length) {
            return;
        }
        HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
        for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            // 去重
            if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))
                continue;
            hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            reback(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }

    }
}

时间复杂度: $O(n * 2^n)$
空间复杂度: $O (n)$

Topic2全排列

题目：

给定一个不含重复数字的数组 $n u m s$ ，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

输入： $n u m s = [1, 2, 3]$
输出： $[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]$

思路：

按照回溯模板我们进行回溯三部曲：
递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量， $p a t h$ 用来存放符合条件单一结果， $res u lt$ 用来存放符合条件结果的集合。排列问题需要一个 $u se d$ 数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:

所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path=new LinkedList<>();
boolean[] used;
private void permuteHelper(int[] nums)

2.回溯函数终止条件
当收集元素的数组 $p a t h$ 的大小达到和 $n u m s$ 数组一样大的时候，说明找到了一个全排列

if (nums.length == path.size()) {
	result.add(new ArrayList(path));
    return;
    }

3.回溯搜索的遍历过程
实现代码如下：

 for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                permuteHelper(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }

完整的代码如下：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        permuteHelper(nums);
        return result;
    }

    private void permuteHelper(int[] nums) {
        // 回溯的结束条件
        if (nums.length == path.size()) {
            result.add(new ArrayList(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                permuteHelper(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }

    }
}

时间复杂度: $O (n!)$
空间复杂度: $O (n)$

Topic3全排列II

题目：

给定一个可包含重复数字的序列 $n u m s$ ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。

输入： $n u m s = [1, 1, 2]$
输出： $[[1, 1, 2], [1, 2, 1], [2, 1, 1]]$

思路：
这个就是上面的方法加上了去重操作直接给出代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        Arrays.sort(nums);
        reback(nums);
        return result;
    }
    private void reback(int[] nums) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false)
                    continue;
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                reback(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }
    }
}

时间复杂度: $O (n! * n)$
空间复杂度: $O (n)$

拓展：
去重最为关键的代码为：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
    continue;
}

如果改成 $u se d [i - 1] == t r u e$ ，也是正确的!，去重代码如下：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {
    continue;
}

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！
用输入: $[1, 1, 1]$ 来举一个例子。
树层上去重 $(u se d [i - 1] == f a l se)$ ，的树形结构如下：
在这里插入图片描述
树枝上去重 $（ u se d [i - 1] == t r u e ）$ 的树型结构如下：