踏“时间”与“空间”前来探寻复杂度的奥妙（Java篇）

本篇会加入个人的所谓‘鱼式疯言’

❤️❤️❤️鱼式疯言:❤️❤️❤️此疯言非彼疯言
而是理解过并总结出来通俗易懂的大白话,
小编会尽可能的在每个概念后插入鱼式疯言,帮助大家理解的.
🤭🤭🤭可能说的不是那么严谨.但小编初心是能让更多人能接受我们这个概念！！！

在这里插入图片描述

前言

小伙伴们有没有想过一个问题，在我们做算法过程中，

你是不是有很多种算法思想呢 😊 😊 😊

那这些算法好还是更好呢，我们该怎么衡量呢，这时我们就需要两个维度来衡量：

那就是我们本篇文章要学习的 时间复杂度和空间复杂度

一. 算法效率

算法效率分析分为两种：

第一种是时间效率，第二种是空间效率。

时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。

时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。

但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

鱼式疯言

两句话总结一下

我们用时间复杂度和空间复杂度两个概念来衡量算法的高效性

目前我们更关注时间复杂度

二. 时间复杂度

1. 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。

但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.时间复杂度的计算方法

计算方法： 大O的渐进表示法

<1>. 举个栗子

public class J3_20 {


    void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }

        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }
}

从上面这段代码我们可以计算出

Func1 执行的基本操作次数：

F（N）= N^2+s*N+10

那么我们可以推导出

N=10 F(N)=130
N=100 F(N)=10210
N=1000 F(N)=1222010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数

而只需要大概执行次数，那么这里我们 使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述 函数渐进行为的数学符号。

<2>. 推导大O阶方法

先了解下我们大O 阶法的原则吧 💖 💖 💖

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

所以上题使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

= 1000 F(N) = 1000000

故使用大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了

的表示出了执行次数

其次有些算法的时间复杂度存在最好，平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

such：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

鱼式疯言

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

宝子们可以想想，我们执行最坏的结果也就不就包含了所有可能发现的情况了嘛，所以我们才这么做 💖 💖 💖

3. 时间复杂度的具体计算

<1>. 非递归

栗子 one

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

在栗子中

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

栗子 two

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

在栗子中

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

栗子 three

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

在本题中

3基本操作执行了 100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

栗子 four

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}

在本栗子中

在这里插入图片描述

基本操作执行最好N次

最坏执行了**(N*(N-1))/2次**

通过推导 大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

栗子 five

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {
int mid = begin + ((end-begin) / 2);
if (array[mid] < value)
begin = mid + 1;
else if (array[mid] > value)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}

在本栗子中

在这里插入图片描述

基本操作执行最好1次，最坏log2N次，时间复杂度为 O( ) ps ：

在算法分析中表示是 底数为2，对数为N，有些地方会写成lgN。

（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
(因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2两次二分剩下：n/2/2 = n/4)

鱼式疯言

计算非递归时间复杂度的两点秘诀

1. 看代码
2. 看思想

<2>. 递归

说到递归代码，我们该怎么算呢？？？

其实也不难

递归复杂度= 递归次数 每次代码执行次数*

栗子 one

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

在本栗子中
在这里插入图片描述

通过计算分析发现基本操作 递归了N次，时间复杂度为O(N)。

栗子 two

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

在本栗子中

在这里插入图片描述

通过计算分析发现基本操作递归了2^n 次，时间复杂度为O( 2^n )。

鱼式疯言

总结两句

计算时间复杂度，一要看算法思想，二要看具体代码

递归复杂度 = 递归次数 * 每次代码执行次数

三. 空间复杂度

因为就目前而言，对于算法题的 空间复杂度要求不是很高，

所以小编在这里只是简单介绍一下哦，小伙伴们了解即可

1. 空间复杂度简介

空间复杂度是对 一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以 空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

2. 栗子one

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}

在本栗子中

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

栗子two

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}