基础概念

1.阿贝尔群

阿贝尔群的定义：如果群<G,※>中的运算是可交换的，那么就称这个群为阿贝尔群，也被称为交换群。

阿贝尔群的性质（判定）：设<G,※>是一个群，那么<G,※>是阿贝尔群的充要条件是对于G中的任意两个元素a和b，都有(a※b)※(a※b)=(a※a)※(b※b)。

2.循环群

循环群的定义：若<G,※>为群，如果G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，那么称该群为循环群，而元素a被称为该循环群的生成元。

生成元的唯一性：一个循环群中的生成元可以不唯一。

循环群的与阿贝尔群的关系：循环群一定是阿贝尔群。

循环群的性质：

• 循环群的子群也是循环群。
• 如果一个循环群的阶数是无限阶，那么它的子群中除了{e}之外的也都是无限阶的。
• 如果一个循环群是n阶的，那么该循环群的子群的阶数是n的因子，且对于每一个正因子，有且只有一个该因子阶的子群。如果该循环群的生成元是a且阶数为n，子循环群的阶数是d，那么子循环群中的生成元是a的n/d次幂。

生成元的性质：

• 个数性质：对于一个循环群<G,※>，如果群的阶数有限且为n，那么G中一共有f(n)个生成元。其中f(n)表示对n使用欧拉函数，得到的结果是小于n且与n互素的正整数个数。
• 值性质：循环群中的每一个生成元都可以表示为最小生成元的幂的形式。如果一个循环群的阶数为n，那么每一个生成元都可以表示为最小生成元的x次幂，其中x是小于n且与n互素的正整数。

3.有限循环群

有限循环群的阶数：有限循环群是指由一个元素a生成的循环群，如果生成元a的n次幂等于幺元，那么就称该循环群是n阶的。

4.元素的阶

元素的阶的定义：假设a是G中的一个元素，如果存在一个正整数K，使得a^k=e，使得这个等式成立的最小正整数称为元素a的阶或元素a的周期，并称a是有限阶的元素。

有限循环群的阶和元素的阶：有限循环群的生成元的阶数就是群的阶数，也是该有限循环群中元素的个数。

元素的阶的性质：

• 倍数性质：一个元素的K次幂等于幺元，那么K一定是这个元素的阶的倍数。
• 逆元同阶：一个元素的阶与其逆元的阶相等。
• 元素的阶小于群的阶：一个元素的阶一定小于其所在的群的阶数。

5.无限循环群

无限循环群定义：如果一个生成元的阶数无限大，那么其所在的群被称为无限循环群，且该群中只存在该元素及其逆元两个生成元。

相关题型

1.判断一个代数系统的代数结构

解析：本题考查判断一个代数系统的代数结构。到目前为止，我们所学习的代数结构按照从前往后逐级包含的关系分别是：广群（只要运算封闭）、半群（运算可结合）、独异点（含有幺元）、群（每个元素有逆元）和这一章的阿贝尔群（运算可交换）。因此逐级判断即可。
首先作出运算表如下所示：

根据运算表可以判断，该运算满足封闭性、可结合性，存在幺元1，每个元素都有逆元，并且运算是可交换的，因此该代数系统是一个阿贝尔群。

2.判定一个群是否是循环群

解析：本题考查循环群的判定。只需要判断群中是否存在生成元即可。
对于元素1，其任何次数的幂都是1，因此1不是生成元；按照这种方式进行推理，可以判定群中的各个元素都不是生成元，因此最终可以得出结论：这个群不是循环群。

3.判定一个群是否是循环群

解析：本题考查循环群的判定。
首先根据运算表对称可知该运算满足可交换性，也所以首先该群是一个阿贝尔群，接下来只需要判定是否存在生成元即可。
容易证明[1]和[3]都是该群的生成元，由此可以得出结论，该群是循环群。

4.循环群的生成元有关问题

解析：本题考察将循环群中的各个元素表示成生成元的幂的形式。直接根据计算结果填写即可，本题的答案如下所示：

需要注意的是并没有0次幂的元素，都是用正数作为元素的幂。

5.判定元素的阶

解析：本题考查元素的阶的判断。
对于模12乘法，5的1次幂为5，2次幂为1，而又可以判定1是该群的幺元，由此可以得知5的阶数就是2。

6.判定元素的阶

解析：本题考查元素的阶和三阶群。
三阶群中除了幺元之外，其他两个元素的二次幂都是另一个元素，因此b²为c，c的阶为1。c的1次幂为c，c的2次幂为b，c的3次幂为a，因此c的阶数为3。

7.判定元素的阶

解析：本题考查元素的阶的计算，只需要逐一计算元素的阶即可，具体过程略，答案如下所示：

8.求给定循环群的所有子群

解析：本题考查求循环群的所有子群。
根据群的特点可知，该模18加法群是一个循环群，且生成元为[1]，群的阶数为18。那么根据循环群的性质，该群存在阶数为1，2，3，6，9和18的子群，生成元分别是[0]，[9]，[6]，[3]，[2]和[1]，根据生成元可以得出该循环群的六个子群。

9.求给定循环群的所有子群

解析：本题考查求循环群的所有子群。
根据群的特点可知，该群为循环群，且生成元为60°，群的阶数为6，因此存在阶数为1、2、3、6的子群。这四个子群的生成元分别是[0]，[180]，[120]，[60]，根据生成元即可确定各个子群中的所有元素。

10.生成元的个数计算

解析：本题考查生成元的个数性质。
根据生成元的个数性质，该群的阶数为18，因此共存在最小生成元的1、5、7、11、13、17次幂共六个生成元。

11.求一个循环群的所有生成元

解析：本题考查生成元的个数性质。
与12互素且比12小的正整数包括1、5、7、11共四个，同时，该循环群的最小生成元为[1]，因此该循环群的生成元为[1]的1、5、7、11次幂，分别为[1]、[5]、[7]、[11]，所以选择BDF。

12.求一个循环群的所有生成元

解析：本题的过程与上一题类似，因此可以判断该群的生成元包括a的一次幂、a的三次幂、a的7次幂和a的九次幂，所以选择ABDE。

13.较难的证明题

解析：根据前面所学的知识，一个群中任意元素及其逆元的阶数是相同的。如果阶大于2的个数为奇数，则说明至少有一个阶数大于2的元素不存在同等阶数的逆元，与假设矛盾，由此可以证明上述命题成立。