【算法专题突破】--- 动态规划 --- 第 N 个泰波那契数三步问题（1）

1.第 N 个泰波那契数

1.题目解析

这个问题的理解其实相当简单，只需看一下示例，基本就能明白其含义了。

2.算法原理

1. 定义状态表

首先，我们要明白这道题的核心是找出一个序列中的数，这个序列遵循特定的规律：每个数都是它前面三个数的和。所以，我们定义一个状态表 dp 来帮助我们跟踪这个序列。在这个表中，dp[i] 表示第 i 个泰波那契数的值。

2. 确定状态转移过程

题目已经给出了我们需要的线索：每一个泰波那契数都是它前面三个数的和。用数学语言来说，这就是 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]。这就像是爬楼梯，你每到达一个新的楼层，都需要知道前面三层楼的信息才能继续往上走。

3. 初始化状态

在开始爬楼梯之前，我们得确保脚下的几层是稳固的。在这个问题中，我们需要先确定 dp[0]、dp[1] 和 dp[2] 的值。题目告诉我们 dp[0] = 0，而 dp[1] 和 dp[2] 都是 1。这就像是在说，我们从第一层开始，第一层和第二层的高度都是1，但第三层开始，我们就要根据前面的楼层来确定了。

4. 填表顺序

接下来，我们要开始填表了。既然每个数都依赖于它前面的数，那么我们就得从前往后，一层一层地填。这就像是在爬楼梯，你得从第一层开始，然后才能到第二层，再到第三层，依此类推。

5. 找出答案

最后，当我们填完整个表，到达第 n 层时，dp[n] 就是我们要找的答案。这就像是，当你爬到你想去的那层楼时，你就知道你已经走了多远。

3.代码编写

代码编写小套路：

特殊情况处理
定义dp表
初始化dp表某些元素
根据递推填dp表
返回答案

class Solution 
{
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1];
        return dp[n];
    }
};

2.三步问题

1.题目解析

这个问题的理解其实相当简单，只需看一下示例，基本就能明白其含义了。

2.算法原理

非常抱歉，我忽略了列点排版的要求。以下是重新排列成列点形式的版本：

爬楼梯问题的动态规划解法

1、定义状态表

我们使用dp[i]来表示到达第i阶楼梯时有多少种不同的方法。

2、状态转移过程

对于第i阶楼梯，我们可以从以下三种情况爬上来：

从第i-1阶爬一阶上来，所以dp[i] += dp[i-1]。
从第i-2阶爬两阶上来，所以dp[i] += dp[i-2]。
从第i-3阶爬三阶上来，所以dp[i] += dp[i-3]。

因此，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]。

注意：在计算过程中，每次加法运算后都需要立即取模，以防止溢出。

即 (dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]) % MOD 是不可取的！

3、初始化

根据题意，我们进行初始化：

dp[1] = 1（只有一种方法爬一阶楼梯）。
dp[2] = 2（有两种方法爬两阶楼梯）。
dp[3] = 4（有四种方法爬三阶楼梯）。

4、填表顺序

我们从第四阶楼梯开始，按照从左往右的顺序依次计算每一阶楼梯的不同方法数，直到达到楼梯的顶部。

5、返回值

最后，返回dp[n]的值，其中n是楼梯的总阶数，即为爬到楼梯顶部的不同方法数。

3.代码编写

套路如上~

class Solution 
{
public:
    int waysToStep(int n) 
    {
        #define mod 1000000007
        if(n == 1 || n == 2) return n;
        if(n == 3) return 4;
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 4;
        for(int i = 4; i <= n; i++)
            dp[i] = (((dp[i - 3] + dp[i - 2]) % mod) + dp [i - 1]) % mod;
        return dp[n];
    }
};