排成一行的正方形染色问题

有r个正方形排成一行,今用红、黄、白、蓝四种颜色给这个r个正方形染色，每个正方形只能染一种颜色，如果要求染红、黄、白色的正方形分别至少出现一个，问有多少种不同的染色法?
 

从红、黄、白、蓝4种颜色中,允许重复的取出r个进行排列,其中红、黄、白至少出现一次。
其排列计数的母函数为：

\left ( x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )^{3}\cdot \left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )

其中，左边的\left ( x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )^{3}表示“红、黄、白至少出现一次”，即：\left ( \left (1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )-1\right )^{3}

说明：1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots 是全部的染色情况；再减1就能表示去掉了一个都不出现的情况。红、黄、白色分别至少出现一个，则可表示为

\left ( \left (1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )-1\right )\cdot \left ( \left (1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )-1\right )\cdot \left ( \left (1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )-1\right ) =\left (x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\right )^{3}

而蓝色没有限制，是全部的计数情况。

对于级数1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots而言，x^{k}代表取k次。即x表示取1次，x^{2}表示取2次；x^{3}表示取3次……1就是x^{0}，即一次也不取。

除以k!表示取排列；否则就是组合问题。

而

\left ( x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )^{3}\cdot \left ( 1+x+\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right )

=\left ( e^{x}-1 \right )^{3}\cdot e^{x}

=e^{4x}-3e^{3x}+3e^{2x}-e^{x}

=\sum_{r=0}^{\infty }\frac{\left ( 4^{r}-3\cdot 3^{r}+3\cdot 2^{r}-1 \right )\cdot x^{r}}{r!}

因此，排列数为 

4^{r}- 3^{r+1}+3\cdot 2^{r}-1

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