1. KMP 算法介绍

KMP 算法：全称叫做 「Knuth Morris Pratt 算法」，是由它的三位发明者 Donald Knuth、James H. Morris、 Vaughan Pratt 的名字来命名的。KMP 算法是他们三人在 1977 年联合发表的。

• KMP 算法思想：对于给定文本串 T 与模式串 p，当发现文本串 T 的某个字符与模式串 p 不匹配的时候，可以利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与文本串的匹配次数，避免文本串位置的回退，以达到快速匹配的目的。

1.1 朴素匹配算法的缺陷

在朴素匹配算法的匹配过程中，我们分别用指针 i 和指针 j 指示文本串 T 和模式串 p 中当前正在对比的字符。当发现文本串 T 的某个字符与模式串 p 不匹配的时候，j 回退到开始位置，i 回退到之前匹配开始位置的下一个位置上，然后开启新一轮的匹配，如图所示。

这样，在 Brute Force 算法中，如果从文本串 T[i] 开始的这一趟字符串比较失败了，算法会直接开始尝试从 T[i + 1] 开始比较。如果 i 已经比较到了后边位置，则该操作相当于将指针 i 进行了回退操作。

那么有没有哪种算法，可以让 i 不发生回退，一直向右移动呢？

1.2 KMP 算法的改进

如果我们可以通过每一次的失配而得到一些「信息」，并且这些「信息」可以帮助我们跳过那些不可能匹配成功的位置，那么我们就能大大减少模式串与文本串的匹配次数，从而达到快速匹配的目的。

每一次失配所告诉我们的信息是：主串的某一个子串等于模式串的某一个前缀。

这个信息的意思是：如果文本串 T[i: i + m] 与模式串 p 的失配是下标位置 j 上发生的，那么文本串 T 从下标位置 i 开始连续的 j - 1 个字符，一定与模式串 p 的前 j - 1 个字符一模一样，即：T[i: i + j] == p[0: j]。

但是知道这个信息有什么用呢？

以刚才图中的例子来说，文本串的子串 T[i: i + m] 与模式串 p 的失配是在第 5 个位置发生的，那么：

• 文本串 T 从下标位置 i 开始连续的 5 个字符，一定与模式串 p 的前 5 个字符一模一样，即："ABCAB" == "ABCAB"。
• 而模式串的前 5 个字符中，前 2 位前缀和后 2 位后缀又是相同的，即 "AB" == "AB"。

所以根据上面的信息，我们可以推出：文本串子串的后 2 位后缀和模式串子串的前 2 位是相同的，即 T[i + 3: i + 5] == p[0: 2]，而这部分（即下图中的蓝色部分）是之前已经比较过的，不需要再比较了，可以直接跳过。

那么我们就可以将文本串中的 T[i + 5] 对准模式串中的 p[2]，继续进行对比。这样 i 就不再需要回退了，可以一直向右移动匹配下去。在这个过程中，我们只需要将模式串 j 进行回退操作即可。

KMP 算法就是使用了这样的思路，对模式串 p 进行了预处理，计算出一个 「部分匹配表」，用一个数组 next 来记录。然后在每次失配发生时，不回退文本串的指针 i，而是根据「部分匹配表」中模式串失配位置 j 的前一个位置的值，即 next[j - 1] 的值来决定模式串可以向右移动的位数。

比如上述示例中模式串 p 是在 j = 5 的位置上发生失配的，则说明文本串的子串 T[i: i + 5] 和模式串 p[0: 5] 的字符是一致的，即 "ABCAB" == "ABCAB"。而根据「部分匹配表」中 next[4] == 2，所以不用回退 i，而是将 j 移动到下标为 2 的位置，让 T[i + 5] 直接对准 p[2]，然后继续进行比对。

1.3 next 数组

上文提到的「部分匹配表」，也叫做「前缀表」，在 KMP 算法中使用 next 数组存储。next[j] 表示的含义是：记录下标 j 之前（包括 j）的模式串 p 中，最长相等前后缀的长度。

简单而言，就是求：模式串 p 的子串 p[0: j + 1] 中，使得「前 k 个字符」恰好等于「后 k 个字符」的「最长的 k」。当然子串 p[0: j + 1] 本身不参与比较。

举个例子来说明一下，以 p = "ABCABCD" 为例。

• next[0] = 0，因为 "A" 中无有相同前缀后缀，最大长度为 0。
• next[1] = 0，因为 "AB" 中无相同前缀后缀，最大长度为 0。
• next[2] = 0，因为 "ABC" 中无相同前缀后缀，最大长度为 0。
• next[3] = 1，因为 "ABCA" 中有相同的前缀后缀 "a"，最大长度为 1。
• next[4] = 2，因为 "ABCAB" 中有相同的前缀后缀 "AB"，最大长度为 2。
• next[5] = 3，因为 "ABCABC" 中有相同的前缀后缀 "ABC"，最大长度为 3。
• next[6] = 0，因为 "ABCABCD" 中无相同前缀后缀，最大长度为 0。

同理也可以计算出 "ABCABDEF" 的前缀表为 [0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0]。"AABAAAB" 的前缀表为 [0, 1, 0, 1, 2, 2, 3]。"ABCDABD" 的前缀表为 [0, 0, 0, 0, 1, 2, 0]。

在之前的例子中，当 p[5] 和 T[i + 5] 匹配失败后，根据模式串失配位置 j 的前一个位置的值，即 next[4] = 2，我们直接让 T[i + 5] 直接对准了 p[2]，然后继续进行比对，如下图所示。

但是这样移动的原理是什么？

其实在上文 「1.2 KMP 算法的改进」 中的例子中我们提到过了。现在我们将其延伸总结一下，其实这个过程就是利用了前缀表进行模式串移动的原理，具体推论如下。

如果文本串 T[i: i + m] 与模式串 p 的失配是在第 j 个下标位置发生的，那么：

• 文本串 T 从下标位置 i 开始连续的 j 个字符，一定与模式串 p 的前 j 个字符一模一样，即：T[i: i + j] == p[0: j]。
• 而如果模式串 p 的前 j 个字符中，前 k 位前缀和后 k 位后缀相同，即 p[0: k] == p[j - k: j]，并且要保证 k 要尽可能长。

可以推出：文本串子串的后 k 位后缀和模式串子串的前 k 位是相同的，即 T[i + m - k: i + m] == p[0: k]（这部分是已经比较过的），不需要再比较了，可以直接跳过。

那么我们就可以将文本串中的 T[i + m] 对准模式串中的 p[k]，继续进行对比。这里的 k 其实就是 next[j - 1]。

2. KMP 算法步骤

3.1 next 数组的构造

我们可以通过递推的方式构造 next 数组。

• 我们把模式串 p 拆分成 left、right 两部分。left 表示前缀串开始所在的下标位置，right 表示后缀串开始所在的下标位置，起始时 left = 0，right = 1。
• 比较一下前缀串和后缀串是否相等。通过比较 p[left] 和 p[right] 来进行判断。
• 如果 p[left] != p[right]，说明当前的前后缀不相同。则让后缀开始位置 k 不动，前缀串开始位置 left 不断回退到 next[left - 1] 位置，直到 p[left] == p[right] 为止。
• 如果 p[left] == p[right]，说明当前的前后缀相同，则可以先让 left += 1，此时 left 既是前缀下一次进行比较的下标位置，又是当前最长前后缀的长度。
• 记录下标 right 之前的模式串 p 中，最长相等前后缀的长度为 left，即 next[right] = left。

3.2 KMP 算法整体步骤

1. 根据 next 数组的构造步骤生成「前缀表」next。
2. 使用两个指针 i、j，其中 i 指向文本串中当前匹配的位置，j 指向模式串中当前匹配的位置。初始时，i = 0，j = 0。
3. 循环判断模式串前缀是否匹配成功，如果模式串前缀匹配不成功，将模式串进行回退，即 j = next[j - 1]，直到 j == 0 时或前缀匹配成功时停止回退。
4. 如果当前模式串前缀匹配成功，则令模式串向右移动 1 位，即 j += 1。
5. 如果当前模式串 完全 匹配成功，则返回模式串 p 在文本串 T 中的开始位置，即 i - j + 1。
6. 如果还未完全匹配成功，则令文本串向右移动 1 位，即 i += 1，然后继续匹配。
7. 如果直到文本串遍历完也未完全匹配成功，则说明匹配失败，返回 -1。

3. KMP 算法代码实现

# 生成 next 数组
# next[j] 表示下标 j 之前的模式串 p 中，最长相等前后缀的长度
def generateNext(p: str):
    m = len(p)
    next = [0 for _ in range(m)]                # 初始化数组元素全部为 0
    
    left = 0                                    # left 表示前缀串开始所在的下标位置
    for right in range(1, m):                   # right 表示后缀串开始所在的下标位置
        while left > 0 and p[left] != p[right]: # 匹配不成功, left 进行回退, left == 0 时停止回退
            left = next[left - 1]               # left 进行回退操作
        if p[left] == p[right]:                 # 匹配成功，找到相同的前后缀，先让 left += 1，此时 left 为前缀长度
            left += 1
        next[right] = left                      # 记录前缀长度，更新 next[right], 结束本次循环, right += 1

    return next

# KMP 匹配算法，T 为文本串，p 为模式串
def kmp(T: str, p: str) -> int:
    n, m = len(T), len(p)
    
    next = generateNext(p)                      # 生成 next 数组
    
    j = 0                                       # j 为模式串中当前匹配的位置
    for i in range(n):                          # i 为文本串中当前匹配的位置
        while j > 0 and T[i] != p[j]:           # 如果模式串前缀匹配不成功, 将模式串进行回退, j == 0 时停止回退
            j = next[j - 1]
        if T[i] == p[j]:                        # 当前模式串前缀匹配成功，令 j += 1，继续匹配
            j += 1
        if j == m:                              # 当前模式串完全匹配成功，返回匹配开始位置
            return i - j + 1
    return -1                                   # 匹配失败，返回 -1
            
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "ABCABCD"))
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "bcf"))
print(kmp("aaaaa", "bba"))
print(kmp("mississippi", "issi"))
print(kmp("ababbbbaaabbbaaa", "bbbb"))

4. KMP 算法分析

• KMP 算法在构造前缀表阶段的时间复杂度为 $O(m)$，其中 $m$ 是模式串 p 的长度。
• KMP 算法在匹配阶段，是根据前缀表不断调整匹配的位置，文本串的下标 i 并没有进行回退，可以看出匹配阶段的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是文本串 T 的长度。
• 所以 KMP 整个算法的时间复杂度是 $O(n+m)$，相对于朴素匹配算法的 $O(n\ast m)$ 的时间复杂度，KMP 算法的效率有了很大的提升。