多数问题求解之蒙特卡洛与分治法

多数问题（Majority Problem）是一个有多种求解方法的经典问题，其问题定义如下：

给定一个大小为 $n$ 的数组，找出其中出现次数超过 $n /2$ 的元素

例如：当输入数组为 $[5, 3, 5, 2, 3, 5, 5]$ ，则 $5$ 是多数（majority）。

本文将介绍该问题的多种求解方法，重点介绍蒙特卡洛与分治法2种。

1. 解决思路

面对一个未知的算法问题，我们最开始很自然地会使用简单粗暴的方法。

1.1 暴力解法

暴力解法就是遍历整个数组，依次判断每个元素是否是多数。其伪代码如下：

Majority(A[1, n])
for(i = 1 to n)
	cnt = 1
	for(j = 1 to n)
		if (i != j and A[i]==A[j])
			cnt++
	end
	if (cnt > n/2) 
		return "A[i] is the majortiy"
 end
 return "No majority"

暴力算法的缺点就是费时间，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。那有什么办法能少一些遍历的时间代价呢？哈希表就是一种用空间换时间的方法。

1.2 哈希表

上面的暴力解法中，我们在循环遍历中更新元素出现的次数，然后再判断是否是多数。可以改为只遍历数组一次，用哈希表记录每个元素出现的次数，然后再遍历哈希表找到出现次数最大的元素，判断其出现次数是否超过 $n /2$ 。

这样时间复杂度降为了 $O (n)$ ，空间复杂度为 $O (n)$ 。时间复杂度还能更优化一点吗？下面让我们来看下分治法的求解思路。

1.3 分治法

我们把原始数组分为两半：在前一半子数组中，找到多数 $A$ ；在后一半子数组中，找到多数 $B$ 。那么原始数组的多数一定在 $A$ 与 $B$ 之间，当二者相等时，原始数组的多数就已经找到了；当二者不等时，比较 $A$ 与 $B$ 出现的次数哪个大于 $n /2$ 即可。

算法的时间复杂度 $T(n)=T(n/2)+2n=O(n\log{n})$ 。具体的C语言代码实现可参见第2节。

1.4 蒙特卡洛法

蒙特卡罗（Monte Carlo）算法是一种随机算法，在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。

在多数问题中，蒙特卡洛法的思想是随机从数组中选择一个元素，判断是否是多数。如果不是多数的话，再随机选择一个。在存在多数的情况下，因为随机选择到多数的概率超过 $\frac{1}{2}$ ，算法找不到多数的概率小于 $\frac{1}{2}$ 。

该算法的平均时间复杂度为 $O (n)$ 。

2. 代码

以下C语言代码依次实现了Monte Carlo以及分治法求解多数问题，并比较了两种算法的运行时间。

首先用户需输入测试数据的文件路径，按下回车键。
然后进入Monte Carlo模式需输入重复的次数。
待用户输入完成，按下回车键后，对Monte Carlo算法求解多数问题计时开始，直至输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。
Monte Carlo结束后直接进入分治法求解，开始计时，直至分治法输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <windows.h> 

using namespace std;

const int N = 2000000;        //定义数组的最大长度 

int a[N];

bool majorityMC_once(int a[], int len, int *result) { //对长度为len的数组a[]进行一次蒙特卡洛寻找多数 
	int rnd = rand() % len;  //生成[0, len-1)的一个随机下标 
	int x = a[rnd];
	int count = 0;           //记录 x 在数组a[]中出现的次数 
	for (int i = 0; i < len; i++) { 
		if (a[i] == x) {
			count++;
		}
	}
	if (count > (len / 2)) { //若 x 出现次数超过数组长度的一半，则一次蒙特卡洛找到多数，返回true 
		*result = x;         //将找到的多数的值传给result 
		return true;
	} 
	else {                   //否则，一次蒙特卡洛未找到多数，返回false 
		return false;
	}
}

bool majorityMC_k_times(int a[], int len, int *result, int k) { //k次蒙特卡洛 
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		if(majorityMC_once(a, len, result)) { //只要有一次蒙特卡洛找到多数，则返回true              
			return true;
		}
	} 
	return false;                             //k次蒙特卡洛均未找到多数，则返回false 
}

bool majorityDC(int a[], int start, int end, int *result) { //分治法求解多数问题，数组下标区间为[start, end] 
	if (start == end) {
		*result = a[end];
		return true;
	}
	else {
		int m1, m2;
		majorityDC(a, start, (start + end) / 2, &m1);    //m1为前半区间[start, (start + end) / 2]的多数 
		majorityDC(a, (start + end) / 2 + 1, end, &m2);  //m2为后半区间[(start + end) / 2 + 1, end]的多数 
		int count1 = 0, count2 = 0;
		for (int i = start; i <= end; i++) {
			if (a[i] == m1) {     //count1记录m1在数组a[]中出现的次数 
				count1++;
			}
			if (a[i] == m2) {     //count2记录m2在数组a[]中出现的次数 
				count2++;
			}
		}
		if (count1 > ((end - start + 1) / 2)) { //m1在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m1为多数 
			*result = m1;
			return true;
		} 
		else if (count2 > ((end - start + 1) / 2)) { //m2在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m2为多数 
			*result = m2;
			return true;
		}
		else {  
			return false;         //m1, m2均不是多数，则数组a[]的多数不存在
		}
	}
}

int main() {
	srand(time(NULL));  //设置时间函数time(NULL)为随机数种子 
	char s[100];
	cout << "请输入测试数据文件路径：" << endl;
	cin >> s; 
	FILE *fp;
	fp = fopen(s, "r");
	if (fp == NULL) {
		cout << "Can not open the file!" << endl;
		exit(0);
	}
	int i = 0;
	while (fscanf(fp, "%d\n", &a[i]) != EOF) {  //读取文件中的数据到数组a[]中 
		i++;
	}
	fclose(fp); 
	cout << "********************** Monte Carlo *********************" << endl;
	int k;
	cout << "请输入 Monte Carlo 重复的次数： ";
	cin >> k;
	LARGE_INTEGER nFreq;
	LARGE_INTEGER nBeginTime;
	LARGE_INTEGER nEndTime;
	QueryPerformanceFrequency(&nFreq);
	QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //Monte Carlo计时开始 
	int resultMC;
	if (majorityMC_k_times(a, i, &resultMC, k)) {
		cout << resultMC << " is the majority" << endl;
	} 
	else {
		cout << "Can not find the majority!" << endl;
	}
	QueryPerformanceCounter(&nEndTime);  //Monte Carlo计时结束 
	double time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;
	cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;
	cout << endl;
	cout << "****************** Divide and Conquer ******************" << endl;
	QueryPerformanceFrequency(&nFreq);
	QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //分治法计时开始 
	int resultDC;
	if (majorityDC(a, 0, i - 1, &resultDC)) {
		cout << resultDC << " is the majority" << endl;
	} 
	else {
		cout << "Can not find the majority!" << endl;
	}
	QueryPerformanceCounter(&nEndTime);    //分治法计时结束 
	time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;
	cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;
	return 0;
}