目录

一. 多项式环的基本定义

二. 环与多项式环

三. 多项式环的性质

四. 多项式环的次数（degree）

五. 多变量多项式

六. 多变量多项式环R的同态

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一. 多项式环的基本定义

令R代表环（Ring），多项式环中x对应的系数则取自于环R，其标准的表达形式如下：

假如有另外一个多项式的表达形式如下：

如果两个多项式对应的系数均相等，也就是：

那么则可以说两个多项式相等，也就是f(x)=g(x)。

简单观察下两个多项式的系数，不难发现：

以及：

在多项式g(x)中，x被称之为不定项（indeterminant），是首项系数（leading coefficient），是常数项（constant term）。

两个多项式可以进行基本的加法和乘法运算，如下：

综合以上，可以将该多项式环表示为R[x]。

二. 环与多项式环

多项式环的本质是一种特殊结构的环。我们知道一个数，可以看成仅有常数项的多项式，所以两者之间的关系可以用如下映射来表示：

这种映射关系，用英语可以总结为：

The zero and one elements in R[x] are the image of the zero and one element in R.

如果环R满足交换性质（commutative），那么多项式环R[x]也满足交换性质。

从多项式环中选择一个多项式f(x)，如下：

由此进一步将x不断替换成环R内的元素，可以得到如下映射关系：

将a的值带入多项式，最终的结果f(a)本质也是一个环内元素。

反过来，如果将a固定，让多项式f不断变换，这个过程的本质就是将多项式环R[x]变换成环R，如下：

这个过程就是环同态（ring homomorphism）。英文的表达可能更加形象，如下：

三. 多项式环的性质

令R代表环，f代表从R[x]中抽取出的非零多项式。如果将a带入多项式中可得：

f(a)=0

首先a肯定是环R内的元素，接着a可被称之为多项式f的根（root）。

在上述环同态的运算中（），x-a则为其kernel。

将上述多项式f表示为：

在此表达式中，多项式的f的次数（degree）为n，也可以写为：

deg(f）=n

如果有一个系数满足：

那么f为首一多项式（monic）。

当然次数为0的项则为常数项。

多项式有一个特殊的性质，可以统一下。如果多项式f(x)的项全为0，可以认为此时的次数无意义，也可以认为次数是负无穷大。

四. 多项式环的次数（degree）

（1）

多项式相加不会增大次数，如下：

证明过程显然易得。

（2）

如果发现两个多项式相加的次数满足：

那么可以得出f和g的次数相等，并且他们的首项系数（leading coefficients）在环内加法运算互逆。

证明过程显然易得。

（3）

如果两个多项式的次数不相等，如下：

那么可得：

根据（2）很容易得到此处的（3）

（4）

如果环R包含所有实数，那么可得：

乘法运算的degree也满足：

deg(fg)=deg(f)+deg(g)

证明：

假定多项式f和g的degree满足：

deg(f)=n,   deg(g)=m

多项式f的首项系数（leading coefficient）为，多项式g的首项系数（leading coefficient）为。

那么很明显f和g的乘法运算fg中包含一个x指数最大的项，也就是：

再根据环R包含了所有的实数，可得：

如果环R包含所有的实数，那么多项式环R[x]也包含所有的实数多项式。同理，如果R为整环（integral），那么R[x]也为整多项式环。

如果以上定理不是整环会出现什么？

举个例子，环R=Z/15Z，很明显不是整环。给定第一个多项式：

f(x)=[1]+[3]x

以及第二个多项式：

g(x)=[2]+[5]x

首先这两个多项式肯定属于多项式环R[x]内的。并且两者的degree都为1，也就是：

deg(f)=deg(g)=1

但是两者的乘法运算会特殊一些，可以得到：

五. 多变量多项式

多项式环可以不只有一个变量，也就是：

The process of adjoining indeterminants to a ring R can be iterated to form polynomials in more than one variable with coefficients in R.

这个时候的多项式环可以表示为R[x][y]，比如举一个例子，如下：

当然有的时候也可以写做R[x][y]=R[x,y]。那么，就可以引入迭代的概念：

此时的变量个数有n个，也就是：

多项式f则可以表示成：

需要强调的是，此处的求和符号一定是有限个数的。

如果从多项式中，单独抽取一项，则是单项式（monomial），也就是：

当然在密码学等实际应用的时候，R往往代表域（field）。

六. 多变量多项式环R的同态

类似单变量，多变量情况下也有同态运算的性质（evaluation homomorphism）。给定n维的环元素，如下：

那么同态映射可得：

该映射过程可以直观上看成：

其中环kernel的性质也同样适用。