图
- 1.图的基本概念
- 2. 图的存储结构
- 2.1邻接矩阵
- 2.2邻接表
- 2.3两种实现的比较
- 3.图的遍历
- 3.1 图的广度优先遍历
- 3.2 图的深度优先遍历
- 4.最小生成树
- 4.1 Kruskal算法
- 4.2 Prim算法
- 4.3 两个算法比较
- 5.最短路径
- 5.1两个抽象存储
- 5.2单源最短路径--Dijkstra算法
- 5.3单源最短路径--Bellman-Ford算法
- 5.3 多源最短路径--Floyd-Warshall算法
- 5.4 几个算法的比较
1.图的基本概念
概念多，但是不难理解，难的算法部分基本都是图解。
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中V为顶点集合，E为边集合。
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>
有向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。
无向图：顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。
有向完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；
无向完全图：在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
邻接顶点：在无向图G中，若 (u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若 <u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
权值：边附带的数据信息。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；
对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树（形成连通图并且使用的边数量少）。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。
图与树的关系：
- 树是一种特殊的无环连通图。
- 树关注的节点（顶点）存储的值。
- 图关注的是顶点关系以及边的权值。
2. 图的存储结构
因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？
2.1邻接矩阵
因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
注意：
- 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
- 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大（自己设定值表示无穷）代替。
代码实现：
namespace maritx
{
//V为顶点类型，无论什么类型都可以转换位对于的下标，访问时使用哈希表转换出下标
//W为边类型，一般为数值类型，MAX_W代表边不存在
//Direction表示方向，默认无向
template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false> //默认无向
class Graph
{
private:
vector<V> _vertexs; //顶点
map<V, size_t> _VIndexMap; //顶点 ：下标
vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵
public:
typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> self;
Graph() = default;
Graph(const V* vertexs, size_t n)
{
_vertexs.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs[i] = vertexs[i];
_VIndexMap[vertexs[i]] = i;
}
//初始化邻接矩阵
_matrix.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
_matrix[i].resize(n, MAX_W);
}
}
size_t GetVIndex(const V& v)
{
if (_VIndexMap.count(v))
{
return _VIndexMap[v];
}
else //如果没有这个顶点
{
throw invalid_argument("不存在的顶点");
//assert(false);
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVIndex(src);
size_t dsti = GetVIndex(dst);
_AddEdge(srci, dsti, w);
}
void _AddEdge(int srci, int dsti, const W& w)
{
_matrix[srci][dsti] = w; //有向图只需添加一边
if (Direction == false)
{
_matrix[dsti][srci] = w;
}
}
};
}
2.2邻接表
邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
-
无向图邻接表存储
-
有向图邻接表存储
代码实现：
namespace link_table
{
template<class W>
struct Edge
{
W _w; //权值
int _dsti;
Edge<W>* _next;
Edge(int dsti,const W& w)
:_dsti(dsti)
,_w(w)
,_next(nullptr)
{}
};
template<class V, class W, bool Direction = false> //默认无向
class Graph
{
public:
typedef Edge<W> Edge;
Graph(const V* vertexs, size_t n)
{
_vertexs.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs[i] = vertexs[i];
_VIndexMap[vertexs[i]] = i;
}
//初始化邻接矩阵
_tables.resize(n, nullptr);
}
size_t GetVIndex(const V& v)
{
if (_VIndexMap.count(v))
{
return _VIndexMap[v];
}
else //如果没有这个顶点
{
throw invalid_argument("不存在的顶点");
//assert(false);
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVIndex(src);
size_t dsti = GetVIndex(dst);
Edge* newnode = new Edge(dsti, w);
newnode->_next = _tables[srci];
_tables[srci] = newnode; //有向图只需添加一边
if (Direction == false)
{
Edge* newnode = new Edge(srci, w);
newnode->_next = _tables[dsti];
_tables[dsti] = newnode;
}
}
void Print()
{
// 打印顶点和下标映射关系
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << _vertexs[i] << "-" << i << " ";
}
cout << endl << endl;
for (int i = 0; i < _tables.size(); i++)
{
Edge* cur = _tables[i];
if(cur) cout << i;
while (cur)
{
cout << "->" << cur->_dsti ;
cur = cur->_next;
}
cout << endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs; //顶点
map<V, int> _VIndexMap; //顶点：下标
vector<Edge*> _tables; //邻接表
};
}
2.3两种实现的比较
- 对于邻接矩阵，优点是确定AB两点间关系时方便。缺点是对于边数量少的情况，想遍历与某点的出(入)边，需要遍历矩阵的一行（N），空间也会很浪费。
- 对于邻接表，优点是边少时遍历点的出(入)边，有几条边就走几次。缺点是想确定AB两点间关系时需要遍历一次邻接表。
- 推荐关系复杂，边多时使用邻接矩阵。 关系简单，边少时使用邻接表。
- 两种存储实现图相关算法差别不大，后面的算法都是基于邻接矩阵的。
3.图的遍历
给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。
树的遍历是自顶点向下，图的遍历是选定一个顶点作为起点。
3.1 图的广度优先遍历
//遍历
void BFS(const V& v)
{
size_t n = _vertexs.size();
size_t srci = GetVIndex(v);
vector<bool> visited(n);
queue<size_t> q;
q.push(srci);
visited[srci] = true;
while (!q.empty())
{
size_t sz = q.size();
for (size_t i = 0; i < sz; i++)
{
size_t top = q.front(); q.pop();
cout << _vertexs[top] << " ";
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
if (_matrix[top][j] != MAX_W && visited[j] != true) //存在并且没有访问过
{
q.push(j);
visited[j] = true;
}
}
}
}
//有可能存在从v点出发到不了某些点的情况，这时可遍历vis数组
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (visited[i] == false)
{
cout << _vertexs[i] << " ";
}
}
cout << endl;
}
3.2 图的深度优先遍历
void DFS(const V& v)
{
size_t srci = GetVIndex(v);
vector<bool> visited(_vertexs.size());
dfs(srci, visited);
//有可能存在从v点出发到不了某些点的情况，这时可遍历vis数组
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (visited[i] == false)
{
cout << _vertexs[i] << " ";
}
}
}
void dfs(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
cout << _vertexs[srci] << " ";
visited[srci] = true;
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] != true)
{
dfs(i, visited);
}
}
}
4.最小生成树
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
- 只能使用图中的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解，Kruskal算法和Prim算法都可保证最优，两种策略相当容易记忆，证明难度较大，本文不做证明。
4.1 Kruskal算法
- 每次都选用图中权值最小的边来构造，可以使用堆实现。
- 只能选n - 1条边。
- 选用的边不可构成回路，可以使用并查集来判断环是否存在。
不了解并查集的可以看这篇文章（很简单的）：并查集
不了解堆的可以看这篇文章：堆
struct Edge //存储边信息
{
int _srci;
int _dsti;
W _w;
Edge(int srci, int dsti, W w)
:_srci(srci)
,_dsti(dsti)
,_w(w)
{}
bool operator>(const Edge& edge) const
{
return _w > edge._w;
}
};
//Kruskal(克鲁斯卡尔),生成的了返回权值，生成不了返回W默认值
W Kruskal(self& minTree)
{
//初始化一下最小生成树
size_t n = _vertexs.size();
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._VIndexMap = _VIndexMap;
minTree._matrix.resize(n);
for (auto& e : minTree._matrix)
{
e.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
}
UnionFindSet ufs(n); //并查集
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq; //堆
//入边
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = i; j < n; j++) //无向图只需要一半即可
{
if(_matrix[i][j] != MAX_W)
pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
}
}
//依次选最小边，选n - 1
size_t esum = 0;
W ret = 0;
//不断选最小边即可
while (!pq.empty())
{
Edge e = pq.top(); pq.pop();
if (!ufs.InSet(e._srci, e._dsti)) //不在一个集合(不构成回路)，当前边可选
{
minTree.AddEdge(e._srci, e._dsti, e._w);
esum++;
ret += e._w;
ufs.Union(e._srci, e._dsti);
}
}
//判断可否形成最小生成树
if (esum == n - 1)
{
return ret;
}
else
{
return W();
}
}
4.2 Prim算法
- Kruskal算法侧重边，Prim算法侧重点。
- 设有X，Y两个点集合，X表示已在最小生成树中的点，Y表示还未在最小生成树中的点。故选边时选的是X->Y所有边中的最小权值。
- 只能选n - 1条边。
- 选用的边不可构成回路，只需选的边起点在X，终点在Y即可。
//prim(普利姆算法)
W Prim(self& minTree, const V& src)
{
//初始化一下最小生成树
size_t n = _vertexs.size();
minTree._vertexs = _vertexs;
minTree._VIndexMap = _VIndexMap;
minTree._matrix.resize(n);
for (auto& e : minTree._matrix)
{
e.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
}
size_t srci = GetVIndex(src); //起点
//存储边的堆
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;
//X和Y集合（不在X就在Y）
vector<bool> X(n, false);
X[srci] = true;
//把X初始点的边入进去
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
{
pq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));
}
}
//选出边的条数
size_t esum = 0;
W ret = 0;
while (!pq.empty())
{
Edge e = pq.top(); pq.pop();
if (X[e._dsti] != true) //终点在Y，选了不成环
{
minTree.AddEdge(e._srci, e._dsti, e._w);
esum++;
ret += e._w;
X[e._dsti] = true;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//入边为X-Y，X-X的边没必要入
if (_matrix[e._dsti][i] != MAX_W && X[i] != true)
{
pq.push(Edge(e._dsti, i, _matrix[e._dsti][i]));
}
}
}
}
//判断可否形成最小生成树
if (esum == n - 1)
{
return ret;
}
else
{
return W();
}
}
4.3 两个算法比较
- Kruskal算法适用于稀疏图，即边少的图，因为该算法需要用堆维护所有的边。
- Prim算法适用于稠密图，即边多的图，因为该算法的要点在点，并不需要维护所有的边(X-X的边无需维护)。
5.最短路径
5.1两个抽象存储
基于这两个抽象数据结构还原最短路径：
//打印最短路径的算法
void PrinrtShotPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
size_t srci = GetVIndex(src);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
if (i != srci) //源到源不打印
{
size_t par = i;
vector<size_t> path; //先从结尾开始添加
while (par != srci)
{
path.push_back(par);
par = pPath[par];
}
path.push_back(srci);
reverse(path.begin(), path.end()); //翻转过来
for (auto pos : path)
{
cout << _vertexs[pos] << "->";
}
cout << dist[i] << endl; //打印长度
}
}
}
5.2单源最短路径–Dijkstra算法
- 贪心，分为两个集合Q和S，其中Q表示已经确定最短路径的顶点集合，S表示未确定最短路径的顶点集合。
- 在已有最短路径的基础上更新到其他顶点的路径，如果更短就更新，这个操作称为松弛顶点。（建议配合图解看）
- Dijkstra算法不适用于带负权的最短路径问题（后面解释）。
图解：
正确性证明：
- 图边权没有负数
（1）如果现在遍历 起点->S(未确定最短路径点集合)的边，找到一条s->x(记和为len)的最短，那就可以确定这条是s->x的最短。
（2）因为如果存在s->……(和一定小于len)->x的一条更短路径，那遍历时就会先选中s->……中的顶点进行松弛，而不是选中x进行松弛。 - 图边权有负数
（1）遍历 起点->S(未确定最短路径点集合)的边，找到一条s->x(记和为len)的最短，不能确定这条是s->x的最短。
（2）因为可能存在s->……（大于len）->负权->x(小于len)，这时候就会更新不到这条真正的最短
//单源最短路径：dijkstra算法（不带负权）
//每次都可以确定一个点的最短路径，然后围绕这个点松弛
//准确性：如果当前选的不是最短，那就不会选中当前，而是其他的点，在松弛操作中更新出最短
//两个输出型参数,dist为路径长，pPath记录路径
void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
size_t srci = GetVIndex(src);
//初始化
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = W();
//Q中为true，说明已经确认最短路径
vector<bool> Q(n, false);
//要确定N个顶点的最短，循环N次（其实只要N-1次即可，但为了逻辑就多循环一次）
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
size_t u = srci;
W min = MAX_W;
//找到最短的路径，该路径已经可确认为最短
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
if (Q[j] == false && dist[j] < min)
{
u = j;
min = dist[j];
}
}
Q[u] = true;
//松弛顶点 srci-u u-v -> srci-v
for (size_t v = 0; v < n; v++)
{
if (_matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v])
{
dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];
pPath[v] = u;
}
}
}
}
5.3单源最短路径–Bellman-Ford算法
- Bellman-Ford算法本质是暴力算法。
- Bellman-Ford算法可以解决带负权的问题。
- Bellman-Ford算法的核心在于松弛顶点。
图解：
负权回路：
//单源最短路径：BellmanFord算法（带负权，注意负权成环）
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
size_t srci = GetVIndex(src);
//初始化
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = W();
//最多更新n - 1
for (size_t k = 0; k < n - 1; k++)
{
//优化的标志位，如果没有松弛更短，说明所有顶点最短路径都找到了
bool flag = true;
//所有顶点做一次松弛
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
//src - i - j
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) //更新出更短
{
dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
pPath[j] = i;
flag = false;
}
}
}
if (flag)
{
break;
}
}
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
//还能更新说明存在负权回路问题
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) //更新出更短
{
return false;
}
}
}
return true;
}
5.3 多源最短路径–Floyd-Warshall算法
- 多源最短，即求任意两点的最短路径。
- 适用于带负权的图。
- Floyd-Warshall算法的核心是动态规划。
图解：
//多源最短路径：FloydWarshall
//vvDist和vvPPath是二维的，vvDist[x]和vvPPath[x]表示以x为起点到各点的最短路径情况
void FloydWarShall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvPPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
vvDist.resize(n);
vvPPath.resize(n);
// 初始化权值和路径矩阵
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
vvDist[i].resize(n, MAX_W);
vvPPath[i].resize(n, -1);
}
//把直接相连的边入进来
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
{
vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
vvPPath[i][j] = i;
}
//i == j,即自己到自己
if (i == j)
{
vvDist[i][j] = W();
}
}
}
//中间经过了(0, k)这些顶点
for (size_t k = 0; k < n; ++k)
{
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
for (size_t j = 0; j < n; j++)
{
if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])
{
vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
vvPPath[i][j] = vvPPath[k][j];
}
}
}
}
}
5.4 几个算法的比较
- 假设图是稠密图，我们使用矩阵存储。 对这些算法的时间复杂度分析：
Dijkstra算法：O（N ^ 2）。
Bellman-Ford算法：O（N ^ 3）。
Floyd-Warshall算法：O（N ^ 3）。 - Dijkstra算法适用于不带负权的图，如果想对不带负权的图找多源最短路径，也可以循环N次Dijkstra算法，效率和Floyd-Warshall差不多。
- Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法都可以解决带负权的问题。
- Bellman-Ford算法大多数情况是快于Floyd-Warshall算法的，只是要单源最短且带负权用Bellman-Ford即可。而且针对Bellman-Ford算法可以用SPFA队列优化。（SPFA优化本文不讲，SPFA优化后时间复杂度不变，最坏的情况和朴素Bellman-Ford算法一致）
- Floyd-Warshall算法用于解决多源最短路径是效果较好，而且可解决带负权问题。
