K-均值算法基础

  K-均值聚类算法属于一种无监督学习的方法，通过迭代的方式将数据划分为K个不重叠的子集（簇），每个子集由其内部数据点的平均值来表示。计算方法大体如下：

1.初始化簇中心

选择K个数据点作为初始的簇中心，簇中心可以随机选择的，也可以基于某种启发式方法选择，初始簇中心的选择对算法的最终结果有很大影响，不同的初始选择可能会导致完全不同的聚类结果

2.计算欧几里得距离

对于数据集中的每个点，计算它到各个簇中心的距离，通常使用欧几里得距离来计算。欧几里得距离衡量了数据点在多维空间中的实际距离,在K-均值算法中，数据点被分配给距离其最近的簇中心所在的簇。

3.分配数据点

根据计算出的距离，将数据点分配给最近的簇。对于每个数据点，找到距离它最近的簇中心，并将其分配给该簇。

4.更新簇中心

重新计算每个簇中所有数据点的平均值，并将该平均值设置为新的簇中心。对于每个簇，新的簇中心计算如下：

5.终止迭代

重复步骤2、3和4，直到簇中心不再发生显著变化，或者达到预定的迭代次数。迭代终止条件可以表示为：

R语言数据集iris 

iris 数据集是 R 语言的内置数据集，其中包含了 3 种不同类型的鸢尾花（Iris flower）的观测数据，每种鸢尾花有 50 个样本，总共有 150 个样本。每个样本都包含了 4 个关于花萼（sepal）和花瓣（petal）的测量数据，以及鸢尾花的种类信息。

iris 数据集中的每个样本都包含以下 4 个数值型特征：

1. Sepal.Length（花萼长度，单位是厘米）
2. Sepal.Width（花萼宽度，单位是厘米）
3. Petal.Length（花瓣长度，单位是厘米）
4. Petal.Width（花瓣宽度，单位是厘米）

此外还有一个分类变量 Species，表示鸢尾花的种类，包含三个水平：setosa、versicolor 和 virginica，分别对应山鸢尾、杂色鸢尾和维吉尼亚鸢尾。

在RStudio里可以输入 iris 来查看这个数据集的内容。

iris数据集内容：

Julia语言实现

  先进入Julia REPL导入需要的Julia包：

] # 进入包管理模式

add RDatasets # R语言的数据集
add DataFrames # 数据处理包
add Clustering # 提供 K-均值 功能包  
add Gadfly #绘图包

Julia语言实现K-均值代码：

using RDatasets  
using DataFrames  
using Clustering  
using Gadfly  
  
# 使用的R语言的iris 数据集  
iris = dataset("datasets", "iris")  
  
# 提取数据集的前四列作为特征矩阵，使用Matrix()函数把DataFrame的子集进行矩阵转换  
features = Matrix(iris[:, 1:4])
  
# 执行 K-means 聚类， 分成 3 个簇
k = 3 
results = kmeans(features, k)  
  
# 提取聚类分配结果  
assignments = results.assignments  
   
plot = Gadfly.plot(iris, x=:SepalLength, y=:SepalWidth, color=assignments, Geom.point)    
display(plot)

 代码运行后生成HTML图像

  

教材中旧版本代码 

# GGboy版本再次之上增加了数据集转换
using RDatasets
using Clustering
using Gadfly

mydata1 = dataset("datasets", "iris")
myf = convert(Array, mydata1[:,1:4])
myl = convert(Array, mydata1[:,5])

x = initseeds(:rand, convert(Matrix, myf'), 3)

myres = kmeans(myf, 3)
Gadfly.plot(mydata1, x = :PetalLength, y = PetalWidth, color = myres.assignments,
    Geom.point)

R语言实现

先导入 ggplot2包用于绘图

install.packages("ggplot2")

R语言实现K-均值代码： 

library(ggplot2)  

data(iris) 

# 提取前四列特征矩阵
features <- iris[, 1:4]  
k <- 3  # 执行 K-means 聚类， 分成 3 个簇
set.seed(123) # 设置随机种子以获得可重复的结果  
results <- kmeans(features, centers = k)  

iris$cluster <- as.factor(results$cluster)  

ggplot(iris, aes(x = Sepal.Length, y = Sepal.Width, color = cluster)) +  
  geom_point(size = 3, alpha = 0.8) +  
  theme_minimal() +  
  labs(title = "K-means Clustering",  
       x = "Sepal Length",  
       y = "Sepal Width",  
       color = "Cluster")

生成图像：
 

 Markdown版本计算公式及说明

# K-均值算法公式

## 1. 初始化簇中心

选择K个数据点作为初始的簇中心（质心）。这些点可以是随机选择的，也可以是基于某种启发式方法选择的。

初始簇中心的选择对算法的最终结果有很大影响。不同的初始选择可能会导致完全不同的聚类结果。因此，在实际应用中，通常会多次运行算法并使用不同的初始簇中心，然后选择其中最好的结果。

## 2. 计算欧几里得距离

对于数据集中的每个点\(x_i\)，计算它到各个簇中心\(\mu_j\)的距离\(d_{ij}\)。通常使用欧几里得距离来计算。

\[d_{ij} = \sqrt{(x_i - \mu_j)^T(x_i - \mu_j)}\]

欧几里得距离是最常用的距离度量方法之一，它衡量了数据点在多维空间中的实际距离。在K-均值算法中，数据点被分配给距离其最近的簇中心所在的簇。

## 3. 分配数据点

根据计算出的距离，将数据点分配给最近的簇。对于每个数据点\(x_i\)，找到距离它最近的簇中心\(\mu_{j^*}\)，并将其分配给该簇。

\[j^* = \arg\min_{j=1,2,...,K} d_{ij}\]

这一步是根据距离度量将数据点划分到不同的簇中。每个数据点都被分配给距离其最近的簇中心所在的簇。这样，数据集就被划分成了K个不重叠的子集。

## 4. 更新簇中心

重新计算每个簇中所有数据点的平均值，并将该平均值设置为新的簇中心。对于每个簇\(C_j\)，新的簇中心\(\mu_j'\)计算如下：

\[\mu_j' = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i\]

这一步是更新簇中心的过程。通过计算每个簇中所有数据点的平均值来得到新的簇中心。这些新的簇中心将用于下一轮的迭代计算中。

## 5. 终止迭代

重复步骤2、3和4，直到簇中心不再发生显著变化，或者达到预定的迭代次数。迭代终止条件可以表示为：

\[\|\mu_j' - \mu_j\| < \epsilon\]

其中，\(\epsilon\)是一个很小的正数，表示簇中心变化的阈值。当簇中心的变化小于该阈值时，算法停止迭代。