A.Entertainment in MAC（字符串）

题意：

恭喜你，你被硕士援助中心录取了！但是，你在课堂上感到非常无聊，于是你给自己想了一个游戏。

给你一个字符串$s$和一个偶数整数$n$。你可以对它进行两种运算：

1. 将字符串反向并$s$添加到字符串$s$的末尾（例如，如果$s=cpm$，那么在执行操作之后字符串变为$s=cpmmpc$）。
2. 将当前字符串$s$倒转（例如，如果$s=cpm$，则在执行操作后变为$s=mpc$）。

确定在应用了恰好$n$次操作后可以得到的字典序最小的${}^{†}$字符串。请注意，可以按照任意顺序执行不同类型的操作，但必须总共执行恰好$n$次操作。

${}^{†}$当且仅当以下条件之一成立时，字符串$a$在词法上小于字符串$b$：

• $a$是$b$的前缀，但是$a\ne b$ ；
• 在$a$和$b$不同的第一个位置上，字符串$a$的字母在字母表中出现的时间早于$b$中的相应字母。

分析：

我们注意到当反转字符串后如果字典序减小了，那么就不会再执行反转操作，而是将反转后的字符串拼接（这样一定会构造出一个回文串），那么之后的操作就没有任何意义了，将$n$次的操作化简为$2$次。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        string s, ans;
        cin >> s;
        ans = min(s, string(s.rbegin(), s.rend()) + s);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

B.Informatics in MAC（区间）

题意：

在硕士援助中心，$Nyam-Nyam$接受了一项信息学方面的家庭作业。

有一个长度为$n$的数组$a$，你想把它分成$k>1$个子段${}^{†}$，使每个子段上的${\mathrm{MEX}}^{‡}$都等于相同的整数。

请帮助$Nyam-Nyam$找到合适的除法，或者确定不存在合适的除法。

${}^{†}$ 将数组划分为$k$个子数段的定义是$k$对整数$(l_1,r_1),(l_2,r_2),\dots ,(l_k,r_k)$，使得$l_i\le r_i$和每个$1\le j\le k-1$，$l_{j+1}=r_j+1$，以及$l_1=1$和$r_k=n$。这些数对表示子段本身。

数组中的${}^{‡}\mathrm{MEX}$是不属于该数组的最小非负整数。

例如

• 数组$[2,2,1]$的$\mathrm{MEX}$是$0$，因为$0$不属于该数组。
• 数组$[3,1,0,1]$中的$\mathrm{MEX}$是$2$，因为$0$和$1$属于数组，而$2$不属于数组。
• 数组$[0,3,1,2]$中的$\mathrm{MEX}$是$4$，因为$0$、$1$、$2$和$3$属于数组，而$4$不属于数组。

分析：

如果有解，一定能只划分为两个区间。如果两个区间的$\mathrm{MEX}$相同，那么合并了也是相同的。将问题转化为求前缀和后缀那个点的$\mathrm{MEX}$相同。遍历并维护$\mathrm{MEX}$即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), al(n + 1), ar(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        ar[a[i]]++;
    }
    int l, r;
    l = r = 0;
    while (ar[r] > 0) {
        r++;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        al[a[i]]++;
        ar[a[i]]--;
        if (ar[a[i]] == 0) {
            if (r > a[i]) {
                r = a[i] + 1;
            }
        }
        while (al[l] > 0) {
            l++;
        }
        while (r > 0 && ar[r - 1] == 0) {
            r--;
        }
        if (l == r) {
            cout << 2 << endl;
            cout << 1 << ' ' << i << endl;
            cout << i + 1 << ' ' << n << endl;
            return;
        }
    }
    cout << -1 << endl;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

C.Messenger in MAC（贪心）

题意：

一个APP计划进行更新，开发人员希望在更新中优化显示给用户的信息集。目前共有$n$条信息。每条信息由两个整数$a_i$和$b_i$表示。阅读数字为$p_1,p_2,\dots ,p_k$（$1\le p_i\le n$，所有$p_i$都是不同的）的信息所花费的时间由公式计算得出：

$$\sum _{i=1}^k{a}_{p_i}+\sum _{i=1}^{k-1}|b_{p_i}-b_{p_{i+1}}|$$

注意，读取由一条编号为$p_1$的报文组成的报文集所需的时间等于$a_{p_1}$。此外，读取一组空信息的时间为$0$。

用户可以确定他愿意在APP上花费的时间$l$。APP必须告知用户信息集的最大可能大小，其阅读时间不超过$l$。请注意，信息集的最大大小可以等于$0$。

开发人员未能实现这一功能，帮助他们解决这一问题。

分析：

同样的元素集合，一定是按照$b$升序排列花费最小。所以将$b$进行升序排序，枚举左右两个端点，$b$的总和就确定了。取区间中尽量多的最小的$a$，使得花费小于等于$l$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
using namespace std;

void solve() {
    LL n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<pair<LL, LL>> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
    }
    sort(a.begin(), a.end(), [&](auto a, auto b) { return a.second < b.second; });
    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        LL cnt = -a[i].second;
        priority_queue<int> q;
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            q.push(a[j].first);
            cnt += a[j].first;
            if (!q.empty() && cnt + a[j].second > m) {
                cnt -= q.top();
                q.pop();
            }
            ans = max(ans, (LL) q.size());
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

D.Exam in MAC（容斥）

题意：

硕士生中心公布了入学考试，考试内容如下。

给考生一个大小为$n$的集合$s$和一个整数$c$。对于这个集合，计算出有多少对整数$(x,y)$使得$0\le x\le y\le c$，满足$x+y$不包含在集合$s$中，以及$y-x$不包含在集合$s$中。

分析：

本题考虑容斥原理：

• 总数$-(x+y)$属于$a[i]$的方案数$-(x-y)$属于$a[i]$的方案数$+(x+y)$且$(x-y)$属于$a[i]$的方案数；
• 对于$x+y=a[i]$的个数就是$a[i]/2+1$；
• 对于$y-x=a[i]$的个数就是$c-a[i]+1$的个数
• 对于重复的，发现如果$x+y$和$x-y$确定，则$x,y$就确定了，而有解条件是$x+y$和$x-y$同奇偶，那么把$s$中的元素的奇数和偶数分别统计一下即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        LL n, c;
        cin >> n >> c;
        LL t1, t2, t3, t4;
        t1 = t2 = t3 = t4 = 0;
        for (LL i = 1; i <= n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            t1 += (x / 2) + 1;
            t2 += (c - x + 1);
            if (x & 1)
                t3++;
            else
                t4++;
        }
        c++;
        cout << c * (c - 1) / 2 + c - t1 - t2 + t3 * (t3 - 1) / 2 + t4 * (t4 - 1) / 2 + t3 + t4 << endl;
    }
    return 0;
}

E.Distance Learning Courses in MAC（前缀和）

题意：

研究生中心的新年已经到来，是时候推出一项新功能了！

现在，学生可以选修远程学习课程，共有$n$门课程可供选择。对于第$i$门远程学习课程，学生可以获得从$x_i$到$y_i$不等的成绩。

但是，并不是所有的课程每个学生都可以选修。具体来说，第$j$名学生只能选修$l_j$至$r_j$的课程，即$l_j,l_j+1,\dots ,r_j$的远程学习课程。

远程学习课程的创建者决定用一种特殊的方式来确定最终成绩。让第$j$名学生在他们的远程学习课程中获得$c_{l_j},c_{l_j+1},\dots ,c_{r_j}$ 的成绩。那么他们的最终成绩将等于$c_{l_j}$$|$$c_{l_j+1}$$|$$\dots$$|$$c_{r_j}$，$|$表示按位或。

由于解决远程学习课程的聊天机器人坏了，对于$q$个学生中的每一个，请你告诉他们可以达到的最高期末成绩。

分析：

首先考虑$x=0$。我们从最高有效位遍历到最低有效位，并尝试将它们包含在答案中。假设我们遍历第$i$位，那么如果这样的一位在$y$个数字中出现了$c$次，就会出现几种情况：

• $c=0$ - 答案中不能包含该位
• $c=1$ - 该位将包含在答案中，我们将其加上
• $c>1$ - 一种特殊情况，因为对于一个有位x的数字，我们可以设置它，而对于另一个数字，我们可以设置所有位$j<i$ 。

因此，如果我们遇到某个位$i$出现不止一次，那么答案中也会包含所有位$j\le i$。

然后考虑原问题，我们取一对数字$(x_i,y_i)$，并找到按位最大的公共前缀，称之为数$w$。显然，$w$的所有位都将包含在答案中，然后我们再建立一对新的数对$(x_i^{{}^{\prime }},y_i^{{}^{\prime }})$=$(x_i-w,y_i-w)$，并记住数字$w_i$。注意数字$y_i^{{}^{\prime }}-1\ge x_i^{{}^{\prime }}$。在某些位出现不止一次的情况下，我们会把它和所有更小的位加到答案中。为此，我们将在这个位置上设置一个等于$2^i-1$的数字（而其他较大的比特位则设置为$i$）。但如果是$y_{i-1}^{{}^{\prime }}\ge x_i^{{}^{\prime }}$ ，那么我们总是可以将所有这些位相加。

因此，求$j$的求解算法如下：

• 取所有$w_i$的按位或结果（$l_j\le i\le r_j$），设为数字$W$。
• 对位$i$进行遍历，与$x=0$的情况类似，对数组$y^{{}^{\prime }}$进行遍历。同时，考虑到该位出现在 $W$中。

这种解法可以使用每个位的前缀和来实现。时间复杂度为$O(n\cdot \log n)$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
template<class T>
using vc = vector<T>;

const int N = 2e5;
const int bit = 30;

struct segtree {
    vc<int> t;
    int n;

    segtree(int n) : n(n) {
        t.resize(n * 2);
    }

    void upd(int i, int x) {
        for (t[i += n] = x; i > 1; i >>= 1) {
            t[i >> 1] = t[i] | t[i ^ 1];
        }
    }

    int get(int l, int r) {
        int res = 0;
        for (l += n, r += n; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
            if (l & 1)
                res |= t[l++];
            if (r & 1)
                res |= t[--r];
        }
        return res;
    }
};

int n;
int l[N], r[N];
int w[N];

void fix() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (l[i] == r[i]) {
            w[i] = l[i];
            l[i] = r[i] = 0;
            continue;
        }
        int pref = (1 << (__lg(l[i] ^ r[i]) + 1)) - 1;
        w[i] = r[i] - (r[i] & pref);
        r[i] &= pref;
        l[i] &= pref;
    }
}

void solve() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> l[i] >> r[i];
    }
    fix();
    segtree t(n);
    vc<vc<int>> bits(bit, vc<int>(n + 1));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        t.upd(i, w[i]);
        for (int j = 0; j < bit; ++j) {
            bits[j][i + 1] = bits[j][i];
            if (r[i] >> j & 1) {
                bits[j][i + 1]++;
            }
        }
    }
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        --x;
        int ans = t.get(x, y);
        for (int j = bit - 1; j >= 0; --j) {
            int cnt = bits[j][y] - bits[j][x] + (ans >> j & 1);
            if (cnt > 1) {
                ans |= (2 << j) - 1;
                break;
            } else if (cnt == 1) {
                ans |= 1 << j;
            }
        }
        cout << ans << ' ';
    }
    cout << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

赛后交流

在比赛结束后，会在交流群中给出比赛题解，同学们可以在赛后查看题解进行补题。

群号： 704572101，赛后大家可以一起交流做题思路，分享做题技巧，欢迎大家的加入。