第一篇为 基础概念 ，第二篇为 R-K法的具体实现方法。
（一）常微分方程的MATLAB求解
概要：
- 常微分方程的MATLAB求解分为解析解、数值解
- 解析解(只有少数微分方程组有解析解)：dsolve函数
- 数值解：solver函数，MATLAB内部自带了许多求解器（各种数值求解的方法，如 R-K法）
- 常用函数文件构造微分方程组
- 数值求解时：高阶微分方程化成常微分方程组
一、解析解
dsolve函数：
- y=dslove('eq1' , 'eq2' , ... , 'cond1' , 'cond2' , ... , 'v')
- y——输出
- eq1、eq2——微分方程
- cond1、cond2——初值条件，省略时表示求通解
- v——自变量，省略时默认为t
- 微分方程中用 D 表示 自变量的导数
- Dy—— y′
- D2y—— y″
- D3y—— y‴
- 若找不到解析解，则返回其积分形式
省略自变量和指定自变量的例子：
>> dsolve('Dy = 2*x' , 'x') %自变量x
ans =
x^2 + C1
>> dsolve('Dy = 2*x') %默认自变量t
ans =
C2 + 2*t*x解析解例题：
例1：求微分方程 dy/dx+2xy=的通解
>> y=dsolve('Dy+2*x*y = x*exp(-x^2)' , 'x')
y =
C3*exp(-x^2) + (x^2*exp(-x^2))/2例2：求下面微分方程的特解
>> y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0' , 'y(0)=0 ,Dy(0)=15' , 'x')
y =
3*sin(5*x)*exp(-2*x)例3：求微分方程组的通解
>> [x , y , z]=dsolve('Dx =2*x-3*y+3*z' , 'Dy=4*x-5*y+3*z' , 'Dz=4*x-4*y+2*z' , 't')
x =
C6*exp(2*t) + C7*exp(-t)
y =
C6*exp(2*t) + C7*exp(-t) + C8*exp(-2*t)
z =
C6*exp(2*t) + C8*exp(-2*t)二、数值解
只有很少一部分微分方程 (组) 能求出解析解；
大部分微分方程（组）只能利用 数值方法 近似求解
1、solver函数：
- [T , Y] = solver(odefun , tspan , y0)
- odefun——待求解的微分方程，可用matlab函数表示（m文件名）
- tspan——求解区间
- y0——初值条件(即自变量取最小值时（不一定为0）的函数值)
- T——（向量）返回分割点的值，作自变量
- Y——（向量）返回函数在分割点上的函数值
- MATLAB在数值求解时 自动对求解区间进行分割
- solver 为MATLAB的 ODE求解器（求解器中可以调用各种数值求解法：ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）
| 求解器 | 特点 | 说明 |
|---|---|---|
| ode45 | 4，5阶 R-K 法 | 首选方法 |
| ode23 | 2，3阶 R-K 法 | 精度较低 |
| ode113 | Adams法，高低精度均可到 10^-3 ~10^-6 | 计算时间比ode45短 |
| ode23t | 梯形算法（改进欧拉法） | |
| ode15s | 多步法：精度中等 | ode45失效时，可用 |
| ode23s | 单步法：低精度 | 当精度较低时，计算时ode15s短 |
| ode23tb | 梯形算法：低精度 | 当精度较低时，计算时比ode15s短 |
——————————————————————————————————
2、odenfun（待求解的微分方程）的构建：
（1）odenfun为 显示常微分方程（类似于显函数，可分离变量）
- 可以用 inline函数 定义：直接将函数表达式内嵌在命令行里
变量名=inline('函数表达式' , '变量名1' , '变量名2' , ...) - 也可以在 函数文件 中定义，然后通过函数句柄调用
例1：求一阶常微分非线性方程的数值解，求解范围 [0,0.5]
>> fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y'); %定义常微分方程
>> [x,y] = ode23(fun , [0,0.5] , 1) %数值求解法使用ode23，自变量范围[0,0.5],步长默认,初值为1
x =
0
0.0400
0.0900
0.1400
0.1900
0.2400
0.2900
0.3400
0.3900
0.4400
0.4900
0.5000
y =
1.0000
0.9247
0.8434
0.7754
0.7199
0.6764
0.6440
0.6222
0.6105
0.6084
0.6154
0.6179
>> [x,y] = ode23(fun , [0:0.1:0.5] , 1) %自定义步长为0.1
x =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
y =
1.0000
0.8287
0.7103
0.6388
0.6093
0.6179——————————————————————————————————————
（2）求 高阶常微分方程，需将其化为 一阶常微分方程组 ，用函数文件定义
函数文件格式 function dy = vdp1000(x , y)————其中x是向量，y是
数值解例题：
例：求解：
解： 令 
则原式子化成:
vdp1000.m
function dy = vdp1000(t , y) %编写函数vdp1000,输入的t是自变量（不可省略），在后面的数值计算时，将自变量范围赋给t；y是一个2列的行向量，因为我们后面赋初值是有2个，且输出值也有2个
dy = zeros(2,1); %建立一个2行的列向量
dy(1) = y(2); %按照上边的式子赋值
dy(2) = 1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); %按照上边的式子赋值命令窗口
>> [T , Y]=ode15s('vdp1000' , [0 , 3000] , [2 0]); %调用方法，自变量t的范围[0 , 3000]，将初值 2,0 赋给 y(1),y(2) ,T——n个元素的列向量，Y——n行2列的矩阵，Y(:1)是式子中的y1，Y(:2)是式子中的y2
>> plot(T , Y(:,1)) %显示Y(:1)，即式子中的y1，即原始式子的因变量x
例2：手写 欧拉法 求常微分方程，x 范围 [0,0.5] , 步长 h=0.1
解：根据欧拉公式： yn+1=yn+hf(xn,yn) -------------------(注：这里的 f(x,y)=y′ )
代入 y′ , 可以得到 yn+1=0.9yn+0.1xn+0.1
Euler.m
function y=Euler()
x=[0:0.1:0.5]; %定义x
y=zeros(size(x)); %创建y
h=0.1; %步长h=0.1
len = length(x); %向量x的长度
y(1)=1; %y初始化
for i=2:len %从y2开始计算
y(i)=0.9*y(i-1)+h*x(i-1) + 0.1;
end
%画图
figure
hold on
grid on
plot(x , y ,'r') %红色线为数值解
plot(x , x+exp(-x),'b') %蓝色线为解析解
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Euler')命令窗口
%函数调用
>> y=Euler()
y =
1.0000 1.0000 1.0100 1.0290 1.0561 1.0905
例3：追击问题
设位于坐标原点的甲舰向位于 x 轴上 A(1,0) 处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰。
已知：乙舰以最大的速度 v0 沿平行于 y 轴的直线行驶，导弹的速度是 5v0 。
要求：模拟导弹的运行轨迹，并求击中点的坐标
解：
建立坐标系
设 导弹的飞行曲线方程 为 y=y(x)
在时刻 t 位于 P(x,y)
eql.m
function dy=eql(x,y) %一阶微分方程组
dy=zeros(2,1); %构造2行的列向量
dy(1)=y(2); %dy(1)
dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x); dy(2)命令串口
>> [x , y]=ode15s('eql',[0:0.001:1],[0 0]); %数值求解微分方程组
>> plot(x,y(:,1),'r.') %画导弹轨迹，dy(1)，即原式子的y
hold on
>> y2=0:0.001:2;
>> plot(1,y2,'b*') %画乙舰轨迹
axis( [0 , 1 , 0 , 0.25 ] ) %坐标轴范围
>> legend('导弹轨迹' , '乙舰轨迹') %图例
（二）常微分方程的MATLAB求解——手写龙格-库塔法（R-K法）模板、一般步骤
概要：
- 龙格-库塔（R-K）法的写法：就是不断调用微分方程组，迭代计算出对于K1,K2，...，最后再叠加。需要注意的是高阶微分方程，其原函数的导数也是通过迭代计算得到的
- 本人归纳了其套用 R-K 法的一般套路：3个函数、3个步骤——这也是MATLAB自带的求解方法的步骤
- 三个函数：
- Fun函数——用于存放一阶微分方程组
- RK函数——用于使用几阶的R-K法求数值解，上边我只写了 4阶R-K法
- 赋初值函数——只是单纯的写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值；以及调用 RK函数
- 三个步骤：
- 赋初值：写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值
- 将高阶微分方程 拆分成 一阶微分方程组
- 修改 Fun 函数：注意——向量dy的长度，和高阶微分方程的阶次有关
- 三个函数：
- 本人也提供了 手写R-K法的模板，供大家使用参考
例一：一阶微分方程
使用MATLAB自带的 ode45函数 和 手写4阶R-K法 求解下列方程
1.ode45函数解法：
微分方程组
function dy=Fun(x,y)
dy=zeros(size(y));
dy(1) = sin(x)+y(1); %dy(1)表示以y的一阶导为f(x,y)调用ode45函数
function y = MATLAB_RK()
[X ,Y]=ode45('Fun' , [0 :0.1 :20] , [1]); % y的初值1
%画图
hold on
grid on
plot(X , Y(:,1)) %输出 Y的第一列，即原函数关于x的曲线
xlabel('x')
ylabel('y')2.手写4阶R-K解法：
微分方程组
function dy=Fun(x,y)
dy=zeros(size(y));
dy(1) = sin(x)+y(1); %dy(1)表示以y的一阶导为f(x,y)调用手写R-K函数
function y=PlotAll()
% 准备阶段
x=[0 : 0.1 :20]; % x——行向量
h=0.1; % 步长
y=zeros(length(x) , 1); % y——矩阵，行数是x的元素个数，列数是几阶微分方程
% 后面的1表示一阶微分方程,如果是2则表示二阶微分方程，以此类推
y(1,:)=[1]; % y，第一行赋初值，几阶微分方程就要赋几个初值
% 函数调用
Y=FourRK(x,h,y); % 调用4阶R-K法，输入参数x，h，y
%画图
hold on
grid on
plot(x , Y(:,1)) %输出 Y的第一列，即原函数关于x的曲线
xlabel('x')
ylabel('y')4阶R-K函数
function y=FourRK(x,h,y)
len = length(x);
for i=2:len %循环：直到求完最后一个x取值
K1 = Fun(x(i-1),y(i-1,:)); % K1
K2 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K1); % K2
K3 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K2); % K3
K4 = Fun(x(i-1)+h , y(i-1,:)+h.*K3); % K4
y(i,:) = y(i-1,:)+h/6.*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4); % 更新y的第i行，y(i,1)是原函数的y，y(i,2)是原函数的一阶导，以此类推
% 因为这里是1阶微分方程，所以只有y(i,1)，无y(i,2)
end
例二：二阶微分方程
使用MATLAB自带的 ode45函数 和 手写4阶R-K法 求解下列方程
解：将高阶微分方程 化成 一阶微分方程组
我们下面的 Fun函数 就是依据这个一阶微分方程组写的
1.ode45函数解法：
微分方程组
function dy=Fun(x,y) % y(1)表示原函数y，y(2)表示原函数y的一阶导
dy=zeros(size(y));
dy(1)=y(2); % dy(1)表示以y的一阶导为f(x,y)
dy(2)=-1/2*(y(1)+(y(1)*y(1)-1)*y(2)); % dy(2)表示以y的二阶导为f(x,y)调用ode45函数
function y = MATLAB_RK()
[X ,Y]=ode45('Fun' , [0 :0.1 :20] , [0.25 , 0.0]); % y的初值0.25 ，y一阶导的初值 0.0
%画图
hold on
grid on
plot(X , Y(:,1)) %输出 Y的第一列，即原函数关于x的曲线
xlabel('x')
ylabel('y')2.手写4阶R-K解法：
微分方程组
function dy=Fun(x,y)
dy=zeros(size(y));
dy(1)=y(2); %dy(1)表示以y的一阶导为f(x,y)
dy(2)=-1/2*(y(1)+(y(1)*y(1)-1)*y(2)); %dy(2)表示以y的二阶导为f(x,y)调用手写R-K函数
function y=PlotAll()
% 准备阶段
x=[0 : 0.1 :20]; % x——行向量
h=0.1; % 步长
y=zeros(length(x) , 2); % y——矩阵，行数是x的元素个数，列数是几阶微分方程
% 后面的1表示一阶微分方程,如果是2则表示二阶微分方程，以此类推。这里是二阶微分方程，所以是2
y(1,:)=[0.25 , 0.0]; % y，第一行赋初值，几阶微分方程就要赋几个初值。
% y的初值0.25 ，y一阶导的初值 0.0
% 函数调用
Y=FourRK(x,h,y); % 调用4阶R-K法，输入参数x，h，y
%画图
hold on
grid on
plot(x , Y(:,1)) %输出 Y的第一列，即原函数关于x的曲线
xlabel('x')
ylabel('y')4阶R-K函数
function y=FourRK(x,h,y)
len = length(x);
for i=2:len %循环：直到求完最后一个x取值
K1 = Fun(x(i-1),y(i-1,:)); % K1
K2 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K1); % K2
K3 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K2); % K3
K4 = Fun(x(i-1)+h , y(i-1,:)+h.*K3); % K4
y(i,:) = y(i-1,:)+h/6.*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4); % 更新y的第i行，y(i,1)是原函数的y，y(i,2)是原函数的一阶导，以此类推
% 因为这里是2阶微分方程，所以有y(i,1)，有y(i,2)
end
%本质上，将高阶微分化为一阶微分方程组，然后按照各自当作f(x,y），分别进行迭代，最后更新
例二 手写R-K法 答疑：
一阶微分方程可能还好，二阶微分方程可能就没那么好理解了，为此对于例二我换了种 不通用但更直观 的写法，帮助大家理解
首先得理解为什么要将 二阶微分方程 拆成 一阶微分方程组 ，因为这样我们就可以根据 设 f(x,y)=y 的一阶导数，进行迭代求解。————如此题，我们拆成了2个一阶微分方程，所以就需要就同时进行2个R-K迭代
- 这里我将 y 和 y' 拆开成2个行向量——————上边是 将2个合并到一个矩阵 y 中， y(1)为原函数y，y(2)为原函数y的一阶导
- 并且我们需要分别定义函数，来迭代计算 y 和 y' ——————上边是 将2个合并到一个矩阵 y 中.一起计算了
Fun1————迭代求 y
function f1=Fun1(x,y,y1)
f1=y1; %f2表示以y的一阶导为f(x,y)——f(x,y)=输入的y1Fun2————迭代求 y‘
function f2=Fun2(x,y,y1)
f2=-1/2*(y+(y*y-1)*y1); %f2表示以y的二阶导为f(x,y)4阶R-K函数
function y=FourRK2()
x=[0 : 0.1 :20];
y=zeros(size(x));
y1=zeros(size(x));
h=0.1;
len = length(x);
y(1)=0.25; % 原函数y初值
y1(1)=0.0; % 原函数y的一阶导初值
for i=2:len
%Kmn 表示第n次迭代，以m次导数作为f(x,y)
K11 = Fun1(x(i-1),y(i-1),y1(i-1));
K21 = Fun2(x(i-1),y(i-1),y1(i-1));
K12 = Fun1(x(i-1)+1/2*h , y(i-1)+1/2*h*K11 , y1(i-1)+1/2*h*K21);
K22 = Fun2(x(i-1)+1/2*h , y(i-1)+1/2*h*K11 , y1(i-1)+1/2*h*K21);
K13 = Fun1(x(i-1)+1/2*h , y(i-1)+1/2*h*K12 , y1(i-1)+1/2*h*K22);
K23 = Fun2(x(i-1)+1/2*h , y(i-1)+1/2*h*K12 , y1(i-1)+1/2*h*K22);
K14 = Fun1(x(i-1)+h , y(i-1)+h*K13 , y1(i-1)+h*K23);
K24 = Fun2(x(i-1)+h , y(i-1)+h*K13 , y1(i-1)+h*K23);
y(i) = y(i-1)+h/6*(K11 + 2*K12 + 2*K13 + K14); % 更新下一个原函数y
y1(i) = y1(i-1)+h/6*(K21 + 2*K22 + 2*K23 + K24); % 更新下一个原函数y的一阶导
end
%画图
hold on
grid on
plot(x , y)
xlabel('x')
ylabel('y')
%本质上，将高阶微分化为一阶微分方程组，然后按照各自当作f(x,y），分别进行迭代，最后更新总结：手写微分方程的 模板 和 一般步骤
一、原理讲解：
1.模板：
- Fun函数——用于存放一阶微分方程组
- RK函数——用于使用几阶的R-K法求数值解，上边我只写了 4阶R-K法
- 赋初值函数——只是单纯的写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值；以及调用 RK函数
2.一般步骤：
其实这里 手写的R-K法 原理和步骤就是 MATLAB自带的求解R-K方法
- 赋初值：写 x的范围，步长h，矩阵y的阶数，原函数的各个初值
- 将高阶微分方程 拆分成 一阶微分方程组
- 修改 Fun 函数：注意——向量dy的长度，和高阶微分方程的阶次有关
二、具体模板：
1.微分方程模板和准备函数模板
Fun函数————需要自己修改
function dy=Fun(x,y)
dy=zeros(size(y));
dy(1)= ; %dy(1)表示以y的一阶导为f(x,y)
dy(2)= ; %dy(2)表示以y的二阶导为f(x,y)
dy(3)= ; %dy(3)表示以y的三阶导为f(x,y)
...准备初值函数————需要自己修改值，需要修改的用【】括起了
function Y=PlotAll()
% 准备阶段
x=[0 : 0.1 :20]; % 【x——行向量】
h=0.1; % 【步长】
y=zeros(length(x) , 2); % 【y——矩阵，行数是x的元素个数，列数是几阶微分方程】
% 后面的1表示一阶微分方程,如果是2则表示二阶微分方程，以此类推。这里是二阶微分方程，所以是2
y(1,:)=[0.25 , 0.0]; % 【y，第一行赋初值，几阶微分方程就要赋几个初值。】
% 【y的初值0.25 ，y一阶导的初值 0.0】
% 函数调用
Y=FourRK(x,h,y); % 调用4阶R-K法，输入参数x，h，y
%画图
hold on
grid on
plot(x , Y(:,1)) %输出 Y的第一列，即原函数关于x的曲线
xlabel('x')
ylabel('y')2.欧拉法、改进欧拉法、4阶R-K法模板
1阶R-K函数(欧拉法)
function y=OneRK(x,h,y)
len = length(x);
for i=2:len %循环：直到求完最后一个x取值
K1 = Fun(x(i-1),y(i-1,:));
y(i,:)=y(i-1,:)+h.*K1; % 更新y的第i行，y(i,1)是原函数的y，y(i,2)是原函数的一阶导，以此类推
end
%本质上，将高阶微分化为一阶微分方程组，然后按照各自当作f(x,y），分别进行迭代，最后更新2阶R-K函数(改进欧拉法)
function y=TwoRK(x,h,y)
len = length(x);
for i=2:len %循环：直到求完最后一个x取值
K1 = Fun(x(i-1) , y(i-1,:));
K2 = Fun(x(i-1)+h , y(i-1,:)+h.*K1);
y(i,:)=y(i-1,:)+h/2.*(K1+K2); % 更新y的第i行，y(i,1)是原函数的y，y(i,2)是原函数的一阶导，以此类推
end
%本质上，将高阶微分化为一阶微分方程组，然后按照各自当作f(x,y），分别进行迭代，最后更新4阶R-K函数
function y=FourRK(x,h,y)
len = length(x);
for i=2:len %循环：直到求完最后一个x取值
K1 = Fun(x(i-1),y(i-1,:)); % K1
K2 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K1); % K2
K3 = Fun(x(i-1)+1/2*h , y(i-1,:)+1/2*h.*K2); % K3
K4 = Fun(x(i-1)+h , y(i-1,:)+h.*K3); % K4
y(i,:) = y(i-1,:)+h/6.*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4); % 更新y的第i行，y(i,1)是原函数的y，y(i,2)是原函数的一阶导，以此类推
end
%本质上，将高阶微分化为一阶微分方程组，然后按照各自当作f(x,y），分别进行迭代，最后更新补充：关于解为lambertw的微分方程数值解
例，求解下面的微分方程
可以发现这个初值会让 y′(0) 的值有无数个。如果我们写 dy=xy/(1−y) 就会出现分母为0的情况，一开始我就是这么定义 Fun 函数的，发现结果为 NaN。
正解：
- 其实这个函数与 y′ 没有关系，不管 y′(0) 取多少，函数图像总是先为0，后面快速趋向正无穷
- 因此我们就默认取 dy=0 (当然大家也可以取其他值)，然后不将 dy 到一边，直接用原表达式计算
Fun
function dy=Fun(x,y)
dy=-200;
dy=(x*y)+dy*y;
