今日复习内容:做题
例题1:建造房屋
问题描述:
小蓝和小桥是两位年轻的建筑师,他们正在设计一座新的城市。
在这个城市中,有N条街道,每条街道上有M个位置可以建造房屋(一个位置只能建造一个房屋),建造一个房屋的费用是1元,小蓝和小桥共有k元的建造预算。
现在,他们想知道,一共有多少种建造方案,满足以下要求:
在每条街道上,至少建造一座房屋;
建造的总成本不能超过k元。
由于方案数可能很大,他们只需要输出答案对10^9 + 7取模的结果。
输入格式:
一行3个整数N,M(1 = N,M <= 30)和K(1 <= K <= N * M),分别表示街道数,街道位置数和预算。
输出格式:
一个整数,表示满足条件的方案数对10^9 + 7取模的结果。
参考答案:
mod = int(1e9) + 7
n,m,k = map(int,input().split())
f = [[0] * (k + 1) for i in range(n + 1)]
for i in range(k + 1):
f[0][i] = 1
for i in range(1,n + 1):
for j in range(k + 1):
for z in range(1,m + 1):
if j >= z:
f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - z]) % mod
print(f[n][k])
运行结果:
以下是我对此题的理解:
这道题涉及动态规划,目标的计算在给定预算下,满足建造要求的方案数。
1.定义了一个二维数组f,其中f[i][j]表示在前i条街道上,总成本为j的方案数。
2.初始化数组f[0][i],表示在0条街道上,总成本为i的方案数,初始化为1,因为无论预算多少,都有一种方案(不建造任何房屋)。
3.使用3层循环,其中第一层循环遍历街道,第二层循环遍历总成本,第3层循环遍历每个街道上可建造的位置。
4.在内层循环中,检查当前总成本j是否大于街道上可建造的位置数z。如果满足条件,则需要更新f[i][j],加上之前街道i - 1上总成本为j - z的方案数。
5.最终输出结果为f[n][k],表示在前n条街道上,总成本为k的方案数。
n,m,k = map(int,input().split()):从标准输入读取三个整数,分别表示街道数n,街道位置数m和预算k
f = [[0] * (k + 1) for i in range(n + 1):这一行代码创建了一个二维列表f,其中包含n + 1行,每行包含k + 1个元素,初始值都为0,这个列表用于存储动态规划过程中的中间结果。
for i in range(k + 1):这个循环遍历了k + 1个预算值,用于初始化第0条街道上的方案数。
f[0][i] = 1:这一行将第0条街道上总成本为i的方案数记为1,因为无论预算多少,都要一个方案,不建造任何房屋。
for i in range(1,n + 1):这个循环遍历了1到n条街道
for j in range(k + 1):这个循环遍历了k + 1个总成本值,,用于计算每条街道上的方案数
for z in range(1,m + 1):这个循环遍历了每个街道上可建造的位置数,从1到m
if j >= z:这个条件判断语句检查当前总成本j是否大于等于当前街道上可建造的位置数z
f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - z]) % mod:这一行更新了当前街道上总成本为j的方案数。它将之前街道i - 1上总成本为j - z的方案数加到当前街道上,并对结果取模。
print(f[n][k]):最后输出结果,表示前n条街道上,总成本为k的方案数。
例题2:破损的楼梯
问题描述:
小蓝来到了一座高耸的楼梯前,楼梯共有N级台阶,从第0级台阶出发。小蓝可以迈上1或2级台阶。但是,楼梯上的第a1级,第a2级,第a3级,以此类推,共M级台阶的台阶面坏掉了,不能踩上去。
现在,小蓝想要到达楼梯的顶端,也就是第N级台阶,但他不能踩到坏了的台阶上,请问他有多少种不能踩到坏了的楼梯但是能到达第N级台阶的方案数?
由于方案数很大,请输出其对10^9 + 7的结果。
输入格式:
第一行包含两个正整数N(1 <= N <= 10^5)和M(0 <= M <= N),表示台阶总数和坏了的台阶级数。
接下来来N行,包含N个整数a1,a2,...,aM,(1 <= a1 < a2 <... < aM <= N),表示坏掉的台阶编号。
输出格式:
输出一个整数,表示小蓝到达楼梯顶层的方案数,对10^9 + 7取模。
参考答案:
mod = int(1e9) + 7
n,m = map(int,input().split())
mm = list(map(int,input().split()))
vis = [0] * (n + 1)
for i in mm:
vis[i] = 1
f = [0] * (n + 1)
f[0] = 1
f[1] = 1 - vis[1]
for i in range(2,n + 1):
if not vis[i]:
f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod
print(f[n])
运行结果:
以下是我对此题的理解:
这个题是一个很经典的冬天规划问题,以下是我的思路:
n,m = map(int,input().split()):从标准输入中读取两个整数,分别表示台阶总数和坏了的台阶数。
mm = list(map(int,input().split())):从输入中读取坏了的台阶的编号,并将它们储存在列表mm中
vis = [0] * (n + 1):创建了一个长度为n + 1的列表,用于标记每个台阶是否坏掉。如果台阶i坏了,则vis[i]的值为1,否则为0.
for i in mm:vis[i] = 1:这个循环将坏掉的台阶编号所对应的vis列表中的值记为1,表示这些台阶坏了。
f = [0] * (n + 1):用于存储动态规划过程中的中间结果,f[i]表示到达第i级台阶的方案数
f[0] = 1:初始第0级 台阶的方案数为0,因为小蓝从第0级台阶出发。
f[1] = 1 - vis[1]:初始化第一级台阶的方案数,如果第一级台阶坏了,则方案数为0,否则为1.
for i in range(2,n + 1):遍历剩下的台阶
if not vis[i]:用于判断此台阶是否坏了,如果没有,就继续执行下面的代码
f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mod:这一行更新了到达第i级台阶的方案数,如果第i - 1级台阶坏了,只能通过第i - 2级台阶才能到达第i级台阶,这里需要考虑台阶的可行性。
print(f[n]):最终输出结果
例题3:拍照
问题描述:
小椒是个摄影爱好者。恰逢班级合照,他受邀帮忙拍照(站成一排)。这本是一件简单的事,但由于啾啾是个完美主义者,他希望拍的照片必须符合美学,即存在一个身高较大值,使得较大值无论往左还是往右身高都是递减的,数学上可以表示为:a[1] <= ... <= a[i] >= a[i + 1] >= ...>= a[n]。同学们已经站好了,但是不符合美学,你需要找出尽可能少的同学出列重新进行排列。请问最少需要出列几个同学?
输入格式:
第一行输入n,表示有n个同学,接下来的n行,输入校友身高,其中第i行输入a[i]( 1 <= i <= n),输入编号为i的校友的身高(单位是毫米)。
(1 <= n <= 100,1500 <= a[i] <= 1900)
输出格式:
输出一个整数,表示最少需要出队多少个同学。
参考答案:
n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
dp1 = [0] * (n + 1)
dp2 = [0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
dp1[i] = 1
for j in range(1, i):
if a[i - 1] >= a[j - 1]:
dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1)
for i in range(n, 0, -1):
dp2[i] = 1
for j in range(n, i, -1):
if a[i - 1] >= a[j - 1]:
dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1)
ans = 0
for i in range(1, n + 1):
ans = max(ans, dp1[i] + dp2[i] - 1)
print(n - ans)
运行结果:
以下是我对此题的理解:
n = int(input()):从标准输入读取同学的数量n
a = list(map(int,input().split())):从标准输入读取每个同学的身高,并将它们存储在列表a中
dp1和dp2分别代表从左到右和从右到左的动态规划数组。它们的长度都是n + 1,用于存储每个位置的最长符合美学要求的子序列长度。
对于dp1数组,dp1[i]表示以同学i为结束的最长符合美学要求的子序列长度,初始化所有值为1,因为每个同学本身就是一个符合美学要求的子序列
对于dp2数组,dp2[i]表示以同学i为开始的最长符合美学要求的子序列长度,初始化所有值为1,因为每个同学本身就是一个符合美学要求的子序列。
对于每个同学i,在dp1中遍历所有在i之前的同学j,之后就是比较,再输出答案就可以了。
OK,前几天写比赛论文去了,没时间复习,从今天开始,必须挤时间了。
那这篇就这样了,下一篇继续!