【Simulink系列】——控制系统仿真基础

声明：本系列博客参考有关专业书籍，截图均为自己实操，仅供交流学习！

一、控制系统基本概念

这里就不再介绍类似于开环系统、闭环系统等基本概念了！

1、数学模型

控制系统的数学模型是指动态数学模型，大致可以分为输入输出模型、状态空间模型、结构图模型三种。

①输入输出模型：微分方程模型、传递函数模型、频率特性模型（由传递函数s替换jw得到）。

②状态空间模型：是一种应用更为广泛的数学模型，可用于非线性系统、多变量系统，利用计算机方便获得数值响应。传递函数的状态空间不具唯一性（传递函数不可完全表示控制系统，只可表示处可控部分，而状态空间模型既可表示可控部分也可表示不可控部分。）

③结构图：串联、并联、反馈。

控制系统的性能指标：超调量、调节时间、峰值时间、上升时间。

2、分析方法

①时域分析法：拉普拉斯变换（传递函数）

时域响应：单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡、单位加速度、单位正弦响应等。
稳定性分析：只要存在实部为正的特征根，系统就不稳定。Matlab的zpk和roots函数

②根轨迹分析法：系统某个参数（常为开环增益K）从0到无穷大变化，描绘所有根在S平面的轨迹。

幅值条件和相角条件：同时满足这两个条件就是特征方程的根。
根轨迹绘制：Matlab的rlocus函数，调节实轴虚轴比例尺相同用axis equal函数。

③频域分析法：频率特性反映的是系统对正弦输入信号的响应性能，可得定性或定量结论。

频率响应曲线：奈奎斯特曲线（极坐标图）、伯德图（对数坐标图）、尼科尔斯图（对数幅相图）。尼科尔斯图是将伯德图的2张对数幅频特性和相频特性图在角频率w为参量情况下合成一张图。Matlab的nyquist、bode、nichols函数。
频域性能指标：（静态特性）谐振峰值、谐振频率、频带、零频。
稳定性分析：奈奎斯特盘踞（当w从负无穷到正无穷变化时，奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）的次数N等于系统位于右半平面的极点数P）
稳定裕度：增益裕度、相角裕度。Matlab的margin函数。

④状态空间分析法：现代控制论，更全面更广泛！

状态空间表示：u输入向量、x状态向量、y输出向量、A系统内部状态系数矩阵、B输入对状态的作用矩阵、C输出与状态的关系矩阵、D输入直接对输出的作用矩阵。Matlab的ss、tf2ss、zp2ss函数。
标准型：同一系统、同一传递函数的状态空间模型各种各样，但独立的状态变量个数相同，说明不同状态空间模型之间存在联系——线性变换，变换矩阵P不唯一，所以状态空间模型不唯一。一般有可控标准型、可观标准型、对角标准型、约当标准型。Matlab的canon函数、jordan函数等。
稳定性分析：Lyapunov第二方法。Matlab的lyap函数、lyap2函数可求解Lyapunov方程。

二、控制系统仿真模块

控制系统仿真所需模块大部分在Simulink标准仿真子模块库，另外一小部分在专家子模块库（工具箱）。

1、标准模块库

线性系统模块和非线性系统模块，在Continuous子模块库、Discontinuities子模块库、Discrete子模块库。

①Continuous子模块库

连续系统最常用的有状态空间、传递函数、零极点模块：

关键参数：系统矩阵A、输入矩阵B、输出矩阵C、反馈矩阵D；分子多项式num、分母多项式den；零点、极点、增益。

除了以上3个系统模型模块，控制器设计方面提供了单自由度PID控制器和二自由度PID控制器：

关键参数：控制器类型和形式、时域（连续or离散）、PID系数、滤波系数、初始条件、是否饱和及饱和程度；数据类型选项卡设置参数数据类型和最大最小值，默认为继承内部规则、无最值。

二自由度与单自由度的相似，但可以直接将系统的测量反馈信息与参考信号进行比较，还可指定P、I、D各项的权重，输出就是基于此权重。

②Discontinuities子模块库

提供模拟非线性环节的模块，间隙环节、死区环节、饱和环节：

关键参数：死区宽度、初始输出；死区起始时刻、死区终止时刻；饱和上下限、是否过零检测。

③Discrete子模块库

提供离散系统模块，Continuous子模块库中介绍的模块名前加Discrete即成为离散系统模块。除此还有单位延迟、零阶保持器，可以比较下两者对信号作用的不同之处：

若把求解器设置如下，仿真结果为

若求解器设置如下，仿真结果如下

单位延迟unit delay在每一秒处保持输入值，但会延迟一个采样周期。

2、工具箱

控制系统工具箱中只有LTI System一个模块。LTI即线性时不变，既能模拟连续LTI模型，也能模拟离散LTI模型，传递函数形式、零极点形式和状态空间描述均可使用。

LTI系统变量就是设置连续or离散，传递函数形式、零极点形or状态空间描述。初始状态仅在状态空间描述时使用。

①可直接在模块参数框指定系统变量，如 $G(s)=\frac{s+1}{s^{2}+5s+1}$ ，设置tf([1 1],[1 5 1])。

②也可在Matlab编辑区定义，然后输入变量名

G1=tf([1 1],[1 5 1])

三、简单仿真实例

1、传递函数/零极点模型

阶跃响应曲线

这个省略，连接后输入信号设置为step，仿真后scope图像即为阶跃响应。

Bode图&Nyquist图&Nichols图（稳定性判别）

$G(s)=\frac{25(s^{2}+s+7)}{(s+25)(s^{2}+3s+7)}$

num=25*[1 1 7];
den=conv([1 25],[1 3 7]);
G=tf(num,den);
figure(1)
bode(G)
figure(2)
nyquist(G)
axis equal
figure(3)
nichols(G)

2、状态空间模型

一级倒立摆的状态空间模型：

$\begin{aligned} &\dot{x} =\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&-0.524&-3.129&0\\0&-15.332&9.012&-0.562\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}0\\0\\81.23\\-120.1\end{bmatrix}\boldsymbol{u} \\ &y=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}x \end{aligned}$

这是一种不稳定、能控能观系统，设计一个二次型状态反馈调节器对其控制，并绘制阶跃响应曲线。首先应该判别稳定性、能控性、能观性，可选用二次型性能指标中的系数矩阵的值为：

$\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0.01&0&0\\0&0&0.01&0\\0&0&0&0.1\end{bmatrix},\quad R=45,\quad N=0$

稳定性判别

A=[0 0 1 0;
    0 0 0 1;
    0 -0.524 -3.129 0;
    0 -15.332 9.012 -0.562];
B=[0;0;81.23;-120.1];
C=[1 0 0 0;
    0 1 0 0];
D=0;
sys=ss(A,B,C,D);  %状态空间模型
E=eig(A) %根据特征值判断稳定性
OB=obsv(A,C);%计算能控性矩阵的秩
N_B=rank(OB)
OC=ctrb(A,B);%计算能观性矩阵的秩
N_C=rank(OC)
Q=diag([1 0.01 0.01 0.1]);
R=45;
N=0;
[K,S,e]=lqr(sys,Q,R,N);%计算反馈矩阵K
sysT=ss(A-B*K,B,C,D);%加入控制器后的系统
step(sysT) %绘制加入控制器后的系统的阶跃响应曲线