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前言

上一篇我们学习了信号的功率与能量，现在我们继续深入，探讨一下信号的功率和能量在频域上的分布。

注：由于信号能量与功率的推导方法是完全类似的，为了方便，之后讨论时均以信号能量相关的推导为主。

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一、功率谱与能量谱

1. 从频域求能量说起

首先让我们回顾一下帕斯瓦尔定理给出的一个结论——时域求能量等于频域求能量，也就是如下公式

$\int |x(t){|}^{2}dt=\int |X(f){|}^{2}df$

让我们从积分的意义的角度来分析一下这个公式：既然积分的结果是能量，那么$|X(f){|}^{2}df$就是$df$范围内的能量，那么$|X(f){|}^2$不就是能量在这个范围内分布的密度吗？没错，$|X(f){|}^2$就被定义为信号x(t)的能量谱密度。

类似的可以给出功率谱密度$P_X(f)={\lim }_{W\to +\infty }\frac{1}{W}|X_W(f){|}^2$，其中W为频率窗口。

2. 再聊聊密度

我们很早就从物理中接触过密度这一概念，描述的是物体的质量在体积上的分布情况，只不过那时候我们只学了质量密度以及大多数情况考虑的是密度均匀。而大学阶段我们也学习了其他的密度，比如概率密度，其实所谓的y密度表征的是指y在x上分布的稠密程度的量。比如概率密度指的就是概率在数轴上分布的稠密情况，乘上一个$dx$就是该邻域所代表的随机事件发生的概率。

能量谱密度也是完全一样的概念，只要是密度，都是如此。我们通过对概率密度函数的分析，可以得到很多有效信息，比如简单看出哪一部分区间发生概率较大。对能量谱密度分析也是一样，我们可以知道信号的能量或者功率集中在哪一部分频率区间，就可以做其他的操作如滤波滤除能量较小的旁瓣以节省带宽。

3. 单边能量谱与带宽

3.1 实信号的共轭对称性

实际工程中多是实信号，而实信号的频谱具有幅度谱偶对称，相位谱奇对称的特点。下面我们先来证明一下这个性质，由$x(t)$是实信号有：

$x(t)=x^{\ast }(t)$

那么他们的傅里叶变换得到的频谱也相同，即

$X(f)=X^{\ast }(-f)$

这个就是实信号频谱的共轭对称性质，也是上面描述的性质。通过进一步将频谱写成幅度相位的形式，可以更直观的理解这个性质
$X(f)=A(f)e^{j\varphi (f)}=[A(-f)e^{j\varphi (-f)}{]}^{\ast }=A(-f)e^{-j\varphi (-f)}=X^{\ast }(-f)$

因此，信号的共轭偶对称性质就是幅度谱偶对称，相位谱奇对称。（当初本科学习通信原理的时候理解不深，只把共轭对称理解成实信号的频谱的偶对称了）因为在通信原理中一般不分析相位谱，所以在一般称幅度谱为频谱，所画出来的频谱就是偶函数的形式了。

3.2 单边谱与带宽

由于实信号幅度谱的偶对称性，正负频率的频谱完全相同，那么就可以将负频率的部分频谱镜像对称到正频率部分，就得到了单边能量谱：

$E(f)=|X(f){|}^2+|X(-f){|}^2,f\in [0,+\infty ]$

进一步定义信号带宽为单边能量谱在频域上分布的宽度。比如$sinc(f)$的频谱如下（把$theta$当作$f$就行啦嘿嘿）

（ps. 信号的单边频谱一样可以找到带宽，不过和单边能量的带宽是一样的，原因稍加思考就明白啦）

由于这个函数在频域上是无限的，带宽也会变成无限。所以我们定义一些更实用的带宽，如主瓣带宽，这里的主瓣带宽是1Hz。

二、信号的相关函数

1. 说回到时域分析

频域上有了能量谱之后，很自然的一个问题是这个能量谱的时域是什么样子呢？有什么样的性质？那我们就来一探究竟，先写出能量谱的公式：

$E_X(f)=|X(f{)}^2|=X(f)X^{\ast }(f)$

通过傅里叶变换我们可以将上式继续展开，不过为了防止混淆，我们将两个傅里叶展开式使用不同的符号$t_1,t_2$

$E_X(f)=\int \int x(t_1)x^{\ast }(-t_2)e^{-j2\pi f(t_1+t_2)}d{t}_{1}d{t}_2$
（p.s. 这里需要特别注意指数上$t_2$的符号，不要写错了）

将$t_2=-t_2$代入得,

$=\int \int x(t_1)x^{\ast }(t_2)e^{-j2\pi f(t_1-t_2)}d{t}_{1}d{t}_2$

令$t_1-t_2=\tau ,t_2=t$，试图构造成傅里叶变换的格式

$=\int \int x(t+\tau )x^{\ast }(t)e^{-j2\pi f(\tau )}d\tau dt$
$=\int \int x(t+\tau )x^{\ast }(t)dt\cdot e^{-j2\pi f(\tau )}d\tau$
$=\int R_X(\tau )\cdot e^{-j2\pi f(\tau )}d\tau$

至此，我们就得到了能量谱$E_X(f)$通过傅里叶变换得到的时域函数——称为能量自相关函数$R_X(\tau )$。此时，我们再回想之前笔记中提到的复内积的概念，可知，自相关函数$R_X(\tau )$的值其实就是信号$x(t)$与经过时延$\tau$后的信号$x(t+\tau )$的复内积。而内积运算的结果，可以表示一定的信号相关性。（如果将信号做归一化，就是取值为自相关系数的函数了。）

特别的，当时延为0时，容易看出自相关函数的值就是信号的能量。

类似的，我们可以推导出能量信号的互相关函数$R_{XY}(\tau )=\int x^{\ast }(t)y(t+\tau )dt$，以及其互能量谱$E_{XY}(f)=X(f)Y^{\ast }(f)$，推导方法相同，有兴趣可以自行推导一下。

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总结

这篇笔记给出了功率谱能量谱的定义，并进一步通过傅里叶变换找到了他们对应的时域函数，也就是相关函数。

下一篇，将介绍基带信号与频带信号的概念，并解释为什么要研究频带信号以及如何研究频带信号等问题。