前言

维数灾难是指出现一定数量的特征（或者维度）后，分类器的性能将开始下降。特征越多，数据集中的信息就越多。但是，如果考虑的特征超过了所需的特征，分类器甚至会考虑异常值或者会过拟合数据集。因此分类器的性能开始下降，而不是上升。

降维技术允许我们在不丢失太多信息的情况下，找到高维数据的一种紧凑表示。

主成分分析（PCA）

最常见的一种降维技术是主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）。PCA所做的是旋转所有的数据点，直到数据点与解释大部分数据分布的两个轴对齐。

数据生成

np.random.multivariate_normal
首先我们使用numpy中的np.random.multivariate_normal来生成一个数据集用于降维。np.random.multivariate_normal是 NumPy 库中的一个函数，用于生成满足多元正态（也称为高斯）分布的随机样本。
多元正态分布是多个随机变量的概率分布，其中每个随机变量都服从正态分布，并且这些随机变量之间存在一定的相关性。

函数的基本用法如下：

numpy.random.multivariate_normal(mean, cov, size)

参数	含义
mean	一个表示分布的均值的1-D数组。
cov	一个表示分布的协方差矩阵的2-D数组。
size	输出的形状。如果是一个整数，则输出会有这么多样本；如果是一个元组，则输出会有相应的维度。

import numpy as np

mean = [20, 20]
cov = [[12, 8], [8, 18]]
np.random.seed(42)
x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 1000).T
x.shape, y.shape

生成的数据形状如下：

((1000,), (1000,))

画图

将数据的两个维度用二维图画出来，这里使用的画图风格为ggplot(没有别的原因，就是因为这个好看)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('ggplot')
plt.figure(figsize=(35, 35))
plt.plot(x, y, 'o', zorder=5)
plt.axis([0, 35, 0, 35])
plt.xlabel('feature 1')
plt.ylabel('feature 2')

cv2.PCACompute

首先我们将x，y合并起来作为主成分分析的数据。

X = np.vstack((x, y)).T
X.shape

(1000, 2)

在OpenCV中，cv2.PCACompute() 函数用于计算主成分分析（PCA）的结果。PCA 是一种常用的统计方法，用于减少数据集的维度，同时保留数据中的主要变化特征。通过 PCA，你可以找到数据中的“主成分”，这些主成分定义了数据的主要变化方向。在代码中np.array([]) 是一个空的均值向量，当设置为空时PCACompute()将自动计算数据的均值。

import cv2
mu, eig = cv2.PCACompute(X, np.array([]))
eig

array([[ 0.57128392,  0.82075251],
       [ 0.82075251, -0.57128392]])

函数返回两个值：在投影之前减去均值（mean）和协方差矩阵的特征向量（eig）。这些特征向量指向PCA认为信息最丰富的方向。如果我们使用maplotlib在我们数据的顶部绘制这些特征向量，那么就会发现这些特征向量与数据的分布是一致的。

绘制主成分分析结果

使用plt.quiver可以绘制出特征向量，其中参数mean为数据的均值，在这里表示的时箭头的起点，eig则是特征向量，即箭头的方向。

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, 'o', zorder=1)
plt.quiver(mean, mean, eig[:, 0], eig[:, 1], zorder=3, scale=0.2, units='xy')
plt.text(mean[0] + 5 * eig[0, 0], mean[1] + 5 * eig[0, 1], 'u1', 
         zorder=5, fontsize=16, bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.6))

plt.text(mean[0] + 5 * eig[1, 0], mean[1] + 8 * eig[1, 1], 'u2', 
         zorder=5, fontsize=16, bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.6))

plt.axis([0, 40, 0, 40])
plt.xlabel('feature 1')
plt.ylabel('feature 2')

PCA告诉我们的是，我们预先确定的x轴和y轴对于描述我们选择的数据并不是那么有意义。因为所选数据的分布角度大约是45度，所以选择u1和u2作为坐标轴比选择x和y更有意义。

为了证明这一点，我们可以使用cv2.PCAProject旋转数据

X2 = cv2.PCAProject(X, mu, eig)
plt.plot(X2[:, 0], X2[:, 1], 'o')
plt.xlabel('first principal component')
plt.ylabel('second principal component')
plt.axis([-20, 20, -10, 10])

以上就是主成分分析用于调整数据分布的用法，除此之外我们还可以使用PCA进行降维操作，我们只需要选择相应的特征向量并与原数据相乘即可。

做法如下：

new_eig = eig[:, :选取的维度]
X_new = X.dot(new_eig)