概率基础——极大似然估计

引言

极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中最常用的参数估计方法之一，它通过最大化样本的似然函数来估计参数值，以使得样本出现的概率最大化。极大似然估计在各个领域都有着广泛的应用，例如机器学习、生物统计学、金融等。本文将介绍极大似然估计的理论基础、公式推导过程，并通过案例和Python代码进行实现和模拟，以帮助读者更好地理解这一重要的概率基础知识。

理论及公式

极大似然估计的基本思想

极大似然估计的基本思想是：在给定样本的情况下，找到一个参数值，使得观察到这个样本的概率最大。假设我们有一个参数为 $\theta$ 的模型，记为 $P(X|\theta)$ ，其中 $X$ 是样本， $\theta$ 是参数。那么， $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}$ 可以通过最大化似然函数 $L(\theta)$ 来求得，即：

$\hat{\theta} = \underset{\theta}{\arg \max} \, L(\theta)$

似然函数

似然函数 $L(\theta)$ 表示在给定参数 $\theta$ 下观察到样本 $X$ 的概率密度函数（或概率质量函数）的乘积。对于连续型随机变量，似然函数通常表示为概率密度函数的连乘积；对于离散型随机变量，似然函数通常表示为概率质量函数的连乘积。

对数似然函数

在实际应用中，通常使用对数似然函数（Log-Likelihood Function）来简化计算，因为连乘积的求导相对繁琐，而连加的求导更加简单。对数似然函数 $\ell(\theta)$ 定义为似然函数的自然对数：

$\ell(\theta) = \log L(\theta)$

极大似然估计的求解

要找到极大似然估计 $\hat{\theta}$ ，我们需要对对数似然函数 $\ell(\theta)$ 求导，并令导数等于零，求解得到的解即为估计值。

$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = 0$

例子

下面我们通过一个简单的例子来说明极大似然估计的应用。假设我们有一个硬币，想要估计出正面朝上的概率 $p$ 。我们连续地抛掷这个硬币，观察到正面朝上 $k$ 次，总共抛掷了 $n$ 次。我们希望通过这些观察结果来估计正面朝上的概率 $p$ 。

案例

极大似然估计硬币的正面朝上概率

假设我们连续抛掷一个硬币10次，观察到有7次正面朝上和3次反面朝上。我们想要估计出正面朝上的概率 ( p )。根据二项分布的概率密度函数，我们可以得到似然函数：

$\binom{10}{7} p^7 (1-p)^3$

我们可以求得对数似然函数：

$\ell(p) = \log L(p) = \log \binom{10}{7} + 7 \log p + 3 \log (1-p)$

接下来，我们对对数似然函数求导，并令导数等于零，求解得到的解即为估计值 $\hat{p}$ 。

Python模拟与绘图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar

# 定义对数似然函数
def log_likelihood(p, n, k):
    return np.log(np.math.comb(n, k)) + k * np.log(p) + (n - k) * np.log(1 - p)

# 定义负对数似然函数（因为 minimize_scalar 函数寻找最小值）
def neg_log_likelihood(p, n, k):
    return -log_likelihood(p, n, k)

# 模拟抛硬币实验
n_trials = 10  # 抛硬币的总次数
k_heads = 7  # 正面朝上的次数

# 最大化对数似然函数来估计正面朝上的概率
result = minimize_scalar(neg_log_likelihood, args=(n_trials, k_heads), bounds=(0, 1), method='bounded')
estimated_p = result.x

# 绘制结果
p_values = np.linspace(0, 1, 100)
likelihoods = [np.exp(log_likelihood(p, n_trials, k_heads)) for p in p_values]

plt.plot(p_values, likelihoods)
plt.axvline(x=estimated_p, color='r', linestyle='--', label='Estimated p: {:.3f}'.format(estimated_p))
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('Likelihood')
plt.title('Likelihood Function')
plt.legend()
plt.show()