逻辑代数基础（一）（逻辑符号）

目录

三种基本运算

与运算

或运算

非运算

复合运算

与非运算

或非运算

与或非运算

异或运算

同或运算

逻辑代数的基本定律和常用公式

逻辑代数的基本定律

常量-常量的运算

常量-变量的运算

特殊定律

逻辑代数的常用公式

逻辑函数

逻辑函数的定义

逻辑函数的约束条件

逻辑函数的表示

真值表

逻辑代数式

标准与或式——最小项表达式

标准或与式——最小项表达式

逻辑函数的非标准式

带约束条件的逻辑函数表示式

逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，逻辑代数研究的是输入变量与输出变量之间的逻辑关系

三种基本运算

逻辑代数中有与、或、非三种基本逻辑关系，也称为逻辑代数的三种基本逻辑运算

与运算

决定某件事情的所有条件都具备时，结果才会发生

这种因果关系称为与逻辑关系，又称逻辑乘，其运算符号为“·”

表达式为Y=A·B

“·”可以省去，即Y=AB

与逻辑真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
由表可知，与逻辑输出变量与输入变量的关系：有0出0，全1出1

对于多变量的与运算可表示为Y=ABC…

实现与逻辑运算的基本单元电路称为与门

与门逻辑符号：
国标符号

美、日常用符号

与逻辑真值表
A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

或运算

决定某件事情的所有条件只要有一个条件具备，结果就会发生

这种因果关系称为或逻辑关系，又称逻辑加，其运算符号为“+”

表达式为Y=A+B

或逻辑真值表
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

对于多变量的与运算可表示为Y=A+B+C…

实现与逻辑运算的基本单元电路称为或门

串联开关电路：

或门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

或逻辑真值表
A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

非运算

决定某件事情的条件具备时，结果反而不会发生
这种因果关系称为非逻辑关系

非运算又称反运算或者逻辑否定，其运算符为“-”

表达式为 $Y=\bar{A}$

非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
非逻辑输出变量与输入变量的关系为
$\bar{0}=1$ 和 $\bar{1}=0$
实现非逻辑运算的基本单元电路称为非门

开关与灯并联电路：

非门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

非逻辑真值表
A	Y
0	1
1	0

复合运算

三种基本逻辑运算简单，容易实现。但是实际逻辑问题要比三种基本逻辑运算复杂得多

常用的符合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或运算等

与非运算

与非运算是与运算和非运算组成的复合运算，即先进行与运算，再把与运算的结果进行非运算

设输出变量为Y，输入变量为A、B，则与非运算的逻辑表达式为

$Y=\overline{AB}$

与非逻辑的真值表
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

与非逻辑输出变量与输入变量的关系为：有0出1，全1出0

实现与非逻辑运算的单元电路称为与非门
与非门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

与非逻辑的真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

或非运算

或非运算是或运算和非运算组成的复合运算，即先进行或运算，再把或运算的结果进行非运算

设输出变量为Y，输入变量为A、B，则或非运算的逻辑表达式为

$Y=\overline{A+B}$

或非逻辑的真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

或非逻辑输出变量与输入变量的关系为：有1出0，全0出1

实现或非逻辑运算的单元电路称为或非门

或非门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

或非逻辑的真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

与或非运算

与或非运算是与运算和或非运算组成的复合运算，即先进行与运算，再把各个与运算的结果进行或非运算

设输出变量Y，输入变量为A、B和C、D两组，则与或非运算的逻辑表达式为

$Y=\overline{AB+CD}$

与或非逻辑的真值表
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0

实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门

与或非门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

与或非逻辑的真值表
A	B	C	D	Y
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	0

异或运算

异或运算是两个变量与运算或运算组成的复合运算

设输出变量为Y，输入变量为A，B，异或运算用符号“ $\bigoplus$ ”表示，则它的逻辑表达式为

$Y=A\bar{B}+\bar{A}B=A\bigoplus B$

异或门逻辑符号
A B Y
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0

异或运算输出变量与输入变量的关系为：相同输出0，相异输出1

实现异或逻辑运算的电路称为异或门

异或门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

异或门逻辑符号
A	B	Y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

同或运算

同或运算是两个变量与运算和或运算组成的复合运算组成的复合运算

设输出变量为Y，输入变量为A、B，同或运算用符号“ $\bigodot$ ”表示，其逻辑表达式为

$Y=AB+\bar{A}\bar{B}=A\bigodot B$

同或逻辑真值表
A B Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

同或逻辑输出变量与输入变量的关系为：相同出1，相异出0
实现同或逻辑运算的电路称为同或门

同或门逻辑符号：

国标符号

美、日常用符号

同或逻辑真值表
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

对于异或和同或

$\overline{AB+\bar{A}\bar{B}}=A\bar{B}+\bar{A}B$

对异或整体取非则为同或

$\overline{A\bigoplus B}=A\bigodot B$

逻辑代数的基本定律和常用公式

从另一个角度看

“·”相当于∩（交符号）或 $\wedge$ （与符号），“+”相当于∪（并符号）或 $\vee$ （或符号）

逻辑代数的基本定律

常量-常量的运算

0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

$\bar{0}=1$ $\bar{1}=0$

常量-变量的运算

互补律： $A\cdot \bar{A}=0$ $A+\bar{A}=1$

交换律：AB=BA A+B=B+A

结合律：(AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)

分配律：A(B+C)=AB+AC (A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=A+BC

上述定律与普通代数完全相同，只是分配律的第二个公式进行了简化

特殊定律

同一律（重叠律）：AA=A A+A=A

还原律（非非律）： $\bar{\bar{A}}=A$

摩根定律（反演律）： $\overline{}$ $\overline{ABC}=\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$ $\overline{A+B+C}=\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

逻辑代数的常用公式

A+AB=A

证

A(1+B)=A·1=A
A·1=A是因为“·”中需要都为1才为1，所以可以化简为A只要看A是否为1即可

1+B=1是因为“+”中有1则为1

$AB+A\bar{B}=A$

证

$A(B+\bar{B})=A\cdot 1=A$

分配律

$A+\bar{A}B=A+B$

$\overline{A\bar{B}+\bar{A}B}=AB+\bar{A}\bar{B}$
证

$=\overline{A\bar{B}}\cdot \overline{\bar{A}B}$

$=(\bar{A}+\bar{\bar{B}})\cdot (\bar{B}+\bar{\bar{A}})$

$=(\bar{A}+B)\cdot (\bar{B}+A)$

$=A\bar{A}+\bar{A}\bar{B}+AB+B\bar{B}$

$=\bar{A}\bar{B}+AB$

$AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$ ,其中BC为冗余项，又称冗余定理

证

$AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C+BC(A+\bar{A})$

$=AB+\bar{A}C+ABC+\bar{A}BC$

$=AB(1+C)+\bar{A}C(1+B)$

$=AB+\bar{A}C$

推论： $AB+\bar{A}C+BCDE=AB+\bar{A}C$

逻辑函数

逻辑函数的定义

将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的值便被唯一地确定下来
这种输出与输入之间的逻辑关系式，称为逻辑函数
记作

Y=F(A，B，C，D，…)

这里的A，B，C，D，…为逻辑变量，Y为逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系

逻辑函数的特点：

逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种

逻辑函数和逻辑变量之间的关系是由与、或、非三种基本运算决定的

逻辑函数的约束条件

某一逻辑函数，如果逻辑变量的取值没有限制，该逻辑函数称为完全描述的逻辑函数

如果逻辑变量的某些取值组合不可能出现，或取值组合使逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数或带约束条件的逻辑函数

对应这些取值组合称为该逻辑函数的约束条件

逻辑函数的表示

真值表

描述所有输入变量的取值组合与所对应的输出逻辑函数值的一种表格形式
在数字系统中，逻辑函数的真值表是唯一的，能直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系

逻辑代数式

逻辑代数式是由与、或、非三种基本逻辑运算组成的表达式

标准与或式——最小项表达式

最小项的定义

在n个变量的逻辑函数表达式中，如果一个与项包含n个变量，每个变量均以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，这样的与项称为最小项

n个变量最多可以组成2^n个最小项

三变量全部最小项及编号
变量取值最小项值最小项编号

ABC $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$ $\bar{A}\bar{B}C$ $\bar{A}B\bar{C}$ $\bar{A}BC$ $A\bar{B}\bar{C}$ $A\bar{B}C$ $AB\bar{C}$ $ABC$ 最小项编号
000 1 0 0 0 0 0 0 0 $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$ $m_{0}$
001 0 1 0 0 0 0 0 0 $\bar{A}\bar{B}C$ $m_{1}$
010 0 0 1 0 0 0 0 0 $\bar{A}B\bar{C}$ $m_{2}$
011 0 0 0 1 0 0 0 0 $\bar{A}BC$ $m_{3}$
100 0 0 0 0 1 0 0 0 $A\bar{B}\bar{C}$ $m_{4}$
101 0 0 0 0 0 1 0 0 $A\bar{B}C$ $m_{5}$
110 0 0 0 0 0 0 1 0 $AB\bar{C}$ $m_{6}$
111 0 0 0 0 0 0 0 1 $ABC$ $m_{7}$

最小项的性质：

对于变量的任意一组取值，有且仅有一个最小项的值为1

对于变量的同一组取值，全体最小项之和为1

对于变量的同一组取值，任意两个最小项之积为0

标准与或式

全部由最小项相或组成的逻辑函数表达式，称为最小项表达式，亦称为标准与或式

任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和
标准与或式可以写成

F(A，B，C)= $m_{0}$ + $m_{1}$ + $m_{2}$ + $m_{3}$ + $m_{4}$ + $m_{5}$ + $m_{6}$ + $m_{7}$
简写成如下形式
F(A，B，C)= $\sum m(0,1,2,3,4,5,6,7)$
标准与或式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误

排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略

由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，逻辑函数的真值表和标准与或式之间存在对应的转换关系
由逻辑函数的真值表直接写出标准与或式

由逻辑函数的标准与或式直接列出真值表

三变量全部最小项及编号
变量取值	最小项值	最小项编号

标准或与式——最小项表达式

最大项的定义

在n个变量的逻辑函数表达式中，如果一个或项包含n个变量，每个变量均以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，这样的或项称为最大项

n个变量最多可以组成2^n个最大项

三变量全部最大项及编号
变量取值最大项值最大项编号

ABC $A+B+C$ $A+B+\bar{C}$ $A+\bar{B}+C$ $A+\bar{B}+\bar{C}$ $\bar{A}+B+C$ $\bar{A}+B+\bar{C}$ $\bar{A}+\bar{B}+C$ $\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$ 最大项编号
000 0 1 1 1 1 1 1 1 $A+B+C$ $M_{0}$
001 1 0 1 1 1 1 1 1 $A+B+\bar{C}$ $M_{1}$
010 1 1 0 1 1 1 1 1 $A+\bar{B}+C$ $M_{2}$
011 1 1 1 0 1 1 1 1 $A+\bar{B}+\bar{C}$ $M_{3}$
100 1 1 1 1 0 1 1 1 $\bar{A}+B+C$ $M_{4}$
101 1 1 1 1 1 0 1 1 $\bar{A}+B+\bar{C}$ $M_{5}$
110 1 1 1 1 1 1 0 1 $\bar{A}+\bar{B}+C$ $M_{6}$
111 1 1 1 1 1 1 1 0 $\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$ $M_{7}$
最大项性质：
在输入变量的任何取值组合下，有且仅有一个最大项的值为0
对于变量的同一组取值，全体最大项之积为0
对于变量的同一组取值，任意两个最大项之和为1
标准或与式
全部由最大项相或组成的逻辑函数表达式，称为最大项表达式，亦称为标准或与式

任何一个逻辑函数都可以表示为最大项之积

标准或与式可以写成

F(A，B，C)= $M_{0}$ $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{3}$ $M_{4}$ $M_{5}$ $M_{6}$ $M_{7}$
简写成如下形式
F(A，B，C)= $\prod M(0,1,2,3,4,5,6,7)$
标准或与式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误
排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略
由于逻辑函数的真值表和标准与或式都是唯一的，因此，逻辑函数的真值表和标准或与式之间存在对应的转换关系
由逻辑函数的真值表直接写出标准或与式

由逻辑函数的标准或与式直接列出真值表

三变量全部最大项及编号
变量取值	最大项值	最大项编号

由上可知m和M的角标与真值的关系
可以把真值的取值看作二进制数，其对应的十进制数就是m或M的角标

逻辑函数的非标准式

同一个逻辑函数除了用标准与或式和标准或与式描述外，还可以用其他类型的逻辑式描述（统称非标准式）

常见的非标准式有与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式

带约束条件的逻辑函数表示式

带约束条件的逻辑函数表示式也分标准式和非标准式两大类

标准式
约束条件就是某些变量取值组不可能出现，或者某些变量取值组合对应的函数唯一，这些取值组合对应的最小项称为约束项，亦称无关项

为了使用方便，需要将约束项进行编号，常用 $d_{i}$ 表示
约束项下标i的编号规则类似最小项下标i的编号规则
与或式无关项
$\sum d(0,1,2,3,4,5,6,7)$
或与式无关项
$\prod D(0,1,2,3,4,5,6,7)$

非标准式
逻辑代数中的约束条件可以与逻辑函数分开，称为约束条件的非标准表示式
无关项
AB+AC=0

A	B	C	D	Y
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	0

ABC	$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$	$\bar{A}\bar{B}C$	$\bar{A}B\bar{C}$	$\bar{A}BC$	$A\bar{B}\bar{C}$	$A\bar{B}C$	$AB\bar{C}$	$ABC$	最小项	编号
000	1	0	0	0	0	0	0	0	$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$	$m_{0}$
001	0	1	0	0	0	0	0	0	$\bar{A}\bar{B}C$	$m_{1}$
010	0	0	1	0	0	0	0	0	$\bar{A}B\bar{C}$	$m_{2}$
011	0	0	0	1	0	0	0	0	$\bar{A}BC$	$m_{3}$
100	0	0	0	0	1	0	0	0	$A\bar{B}\bar{C}$	$m_{4}$
101	0	0	0	0	0	1	0	0	$A\bar{B}C$	$m_{5}$
110	0	0	0	0	0	0	1	0	$AB\bar{C}$	$m_{6}$
111	0	0	0	0	0	0	0	1	$ABC$	$m_{7}$

ABC	$A+B+C$	$A+B+\bar{C}$	$A+\bar{B}+C$	$A+\bar{B}+\bar{C}$	$\bar{A}+B+C$	$\bar{A}+B+\bar{C}$	$\bar{A}+\bar{B}+C$	$\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$	最大项	编号
000	0	1	1	1	1	1	1	1	$A+B+C$	$M_{0}$
001	1	0	1	1	1	1	1	1	$A+B+\bar{C}$	$M_{1}$
010	1	1	0	1	1	1	1	1	$A+\bar{B}+C$	$M_{2}$
011	1	1	1	0	1	1	1	1	$A+\bar{B}+\bar{C}$	$M_{3}$
100	1	1	1	1	0	1	1	1	$\bar{A}+B+C$	$M_{4}$
101	1	1	1	1	1	0	1	1	$\bar{A}+B+\bar{C}$	$M_{5}$
110	1	1	1	1	1	1	0	1	$\bar{A}+\bar{B}+C$	$M_{6}$
111	1	1	1	1	1	1	1	0	$\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$	$M_{7}$

A	B	C	D	Y
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	0

逻辑代数基础（一）（逻辑符号）

三种基本运算

与运算

或运算

非运算

复合运算

与非运算

或非运算

与或非运算

异或运算

同或运算

逻辑代数的基本定律和常用公式

逻辑代数的基本定律

常量-常量的运算

常量-变量的运算

特殊定律

逻辑代数的常用公式

逻辑函数

逻辑函数的定义

逻辑函数的约束条件

逻辑函数的表示

真值表

逻辑代数式

标准与或式——最小项表达式

标准或与式——最小项表达式

逻辑函数的非标准式

带约束条件的逻辑函数表示式

相关文章

A	B	C	D	Y
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