【软件设计师】通俗易懂的去了解算法的时间复杂度

🐓 时间复杂度

常用排序的时间复杂度

时间频度

算法需要花费的时间，和它语句执行的次数是成正比的，所以会把一个算法种语句执行次数称为语句频度和时间频度、记作T(n)。

定义

时间复杂度就是找到一个无限接近时间频度T(n)同数量级的函数，当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度

通俗一点就是找到一个和T(n)同一量级的函数F(n),写作O(f(n)),一般在程序中我们会看最内层或者说其执行次数最多的代码行。

时间复杂度计算

时间复杂度中O是受T(n)种n变化次数最多的那一项影响，比如：T(n) = n^3+n^2+n+23 那这个最大的影响项就是O( n^3)

常见的时间复杂度

阶数

执行次数函数举例	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)/log2n	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlogn阶
n^3+n^2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

大小排序

消耗时间从小到大

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(nn)

🐓 实例

常数阶O(1)

没有任何循环等复杂结构，时间复杂度就是O(1)常量阶

代码示例：

int a = 1; //O（1）
int b = 1; //O（1）
int t = a + b; //该行执行了O（1）次，故O（1）

对数阶O(log₂n)

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)

代码示例：

int i = 1;
while (i <= n){
    i = i * 2; //该行执行了O(log2n)次，故O(log2n)
}

线性阶O(n)

for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

代码示例：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
      System.out.println(1); //该行执行了O(n)次，故O(n)
}

线性对数阶O(nlog₂n)

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

代码示例：

 for (int i = 1; i <= n; i++) { //该循环执行了n次
     int j = 1;
     while (j<=n){
         j = j * 2; //该行执行了O(nlog2n)次，故O(nlog2n)
     }
 }

平方阶O(n²)

平方阶O(n²) 就更容易理解了，就是两层n的循环嵌套，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)。

代码示例：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
      for (int j = 1; j <= n; j++) {
          System.out.println(1);//该行执行了O(n²)次，故O(n²)
      }
}

立方阶O(n³)

立方阶和平方阶差不多，只是多了一层循环，一共有三层n循环，它的时间复杂度就是O(n*n)。

代码示例：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
     for (int j = 1; j <= n; j++) {
           for (int k = 1; k <= n; k++) {
                System.out.println(1);//该行执行了O(n³)次，故O(n³)
           }
     }
}