快速幂（求解原理+例题）

反复平方法（快速幂）：

代码：

例题：快速幂求逆元

作用：

快速求出 $a^k \ mod \ p$ 的结果。

时间复杂度：

O(logk)

如果使用一般做法，从1循环到k，时间复杂度是O(k)

反复平方法（快速幂）：

将 $k$ 用二进制表示： $(k)_{10}=(....)_2$

那么 $k = 2^{x_1}+2^{x_2} + ... +2^{x_t}\ \ \ x_t<=log_2k$

因此 $a^k \ =\ a^{2^{x_1}+2^{x_2}+...+2^{x_t}} \ \ \ x_t<=log_2k$

我们可以把 $a^k$ 拆分成 $a^k \ =\ a^{2^{x_1}} * a^{2^{x_2}} *... * a^{2^{x_t}} \ \ \ x_t<=log_2k$

因此我们只需要预处理出下面的，就可以解决上述方法:

$a^{2^0} \ mod \ p\\a^{2^1} \ mod\ p\\a^{2^2}\ mod\ p\\.\\.\\a^{2^{logk}}\ mod \ p$

如何求解这些需要预处理：

每次乘2

qmi(long a,long k,long p){
    long res = 1;
    while(k!=0){
        if((k&1)==1) res = res*a%p; // 如果该位是1
        k = k>>1; // 右移一位
        a = a*a%p; //每次乘2
    }
    System.out.println(res);
}

该代码使用了一种位运算技巧。

位运算---求n的二进制表示中第k位是1还是0 (lowbit)-CSDN博客

例子：

标准例题代码：

给定 n 组 ai,bi,pi，对于每组数据，求出 $a_i^{b_i}\ mod\ p_i$ 的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示 $a_i^{b_i}\ mod\ p_i$ 的值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n≤100000,
1≤ai,bi,pi≤2×10^9

输入样例：
2
3 2 5
4 3 9
输出样例：
4
1

import java.util.*;
import java.io.*;

class Main{
    static final int N = 100010;
    static int n;
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        n = Integer.parseInt(in.readLine());
        while(n-->0){
            String[] s = in.readLine().split(" ");
            long a = Long.parseLong(s[0]);
            long b = Long.parseLong(s[1]);
            long p = Long.parseLong(s[2]);
            qmi(a,b,p); // 快速幂
        }
    }
    public static void qmi(long a,long b,long p){
        long res = 1;
        while(b!=0){
            if((b&1)==1) res = res*a%p; // 如果该位是1
            b = b>>1; // 右移一位
            a = a*a%p; //每次乘2
        }
        System.out.println(res);
    }
}

例题：快速幂求逆元

费马定理。

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 $\frac{a}{b}\equiv a*x\ (mod \ m)$ ，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 $b^{-1}\ (mod\ m)$ 。

b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时， $b^{m-2}$ 即为 b 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤ai,pi≤2∗10^9

输入样例：
3
4 3
8 5
6 3
输出样例：
1
2
impossible

解决方法：

$\frac{a}{b}\equiv a*x\ (mod \ m)$

由题意可知： $\frac{a}{b}\equiv a*b^{-1}\ (mod \ m)$

${a}\equiv a*b*b^{-1}\ (mod \ m)$

$b*b^{-1}\equiv 1\ (mod \ m)$

x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 $b^{-1}\ (mod\ m)$ ，因此 $b*x\equiv 1\ (mod \ m)$

由费马定理可知：

$b^{p-1}\ \equiv \ 1\ (mod\ p)\\b*b^{p-2} \ \equiv \ 1\ (mod\ p)$

因此， $x = b^{p-2}\ (mod \ p)$

再使用快速幂解决：

import java.util.*;
import java.io.*;
class Main{
    static int n;
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        while(n-->0){
            String[] s = br.readLine().split(" ");
            int a = Integer.parseInt(s[0]);
            int p = Integer.parseInt(s[1]);
            long res = qmi(a,p-2,p);
            if(a%p==0) System.out.println("impossible");
            else System.out.println(res);
        }
    }
    public static long qmi(int a,int k,int p){
        long res = 1;
        while(k!=0){
            if((k&1)==1) res = res*a%p;
            k = k>>1;
            a = (int)((long)a*a%p);
        }
        return res;
    }
}

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