介绍

全称Bellman-Ford算法，目的是求解有负权边的最短路径问题。
考虑环，根据环中边的边权之和的正负，将环分为零环、正环、负环。其中零环、正环不会影响最短路径的求解，而负环会影响最短路径的求解。
可用BF算法返回一个bool值来判断是否有负环，如果有返回false,否则返回true.

bool BF(int b){
    fill(path,path+maxn,INF);
    path[b]=0;
    //求最短距离
    for(int i=0;i<n-1;i++){//比较趟数
        for(int j=0;j<n;j++){//遍历每一个顶点相关的邻接边
            for(int k=0;k<table[j].size();k++){
                int v=table[j][k].v;
                int value=table[j][k].value;
                if(path[j]+value<path[v]){
                    //此时path[v]应该是最小距离
                    path[v]=path[j]+value;
                }
            }
        }
        //判断是否有负环：有返回false,无返回true
        for(int m=0;m<n;m++){//再次遍历边时
            for(int k=0;k<table[m].size();k++){
                int v=table[m][k].v;
                int value=table[m][k].value;
                if(path[m]+value<path[v])
                //还能找到有比path[v]更小的距离
                return false;//说明有负环存在
            }
        }
        return true;//否则无负环
    }
}

设计思想

将求最短路径看作是求以源点为根结点的一棵最短路径树，此时图与起点均确定，因此最短路径树也就确定了，且最短路径树的层数一定不超过顶点个数V，即树中两顶点的比较更新次数不超过V-1轮。

实现

由于用邻接矩阵遍历边时，复杂度会达到O(V的3次方)，因此我们使用邻接表去实现

应用

由于求最短路径条数时，BF算法会重复遍历相同的顶点，因此在有多条最短路径数时，最短路径条数的累加会出错。于是我们想到用set容器记录前驱结点，通过遍历去重后的前驱结点进行累加。
set容器的介绍

#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100;
const int INF=1000000000;
struct node{
    int v;//邻接顶点
    int value;//对应边权
    //通过构造函数实现定义同时初始化
    node(int a,int b):v(a),value(b){}
};
vector<node> table[maxn];
int n,edge,st,ed,weight[maxn];

int path[maxn],num[maxn],w[maxn];
set<int> pre[maxn];//记录前驱，以便去重

void BF(int b){
     fill(path,path+maxn,INF);
     memset(num,0,sizeof(num));
     memset(w,0,sizeof(w));
     path[b]=0;
     w[b]=weight[b];
     num[b]=1;
     for(int i=0;i<n-1;i++){
         for(int j=0;j<n;j++){
             for(int k=0;k<table[j].size();k++){
                 //记录
                 int v=table[j][k].v;
                 int value=table[j][k].value;
                 if(path[j]+value<path[v]){
                     path[v]=path[j]+value;
                     w[v]=w[j]+weight[v];
                     num[v]=num[j];//小于覆盖
                     pre[v].clear();//清空
                     pre[v].insert(j);//记录最短路径前驱
                 }else if(path[j]+value==path[v]){
                     if(w[v]<w[j]+weight[v])
                     w[v]=w[j]+weight[v];
                     pre[v].insert(j);//继续记录
                     num[v]=0;//防止重复计数，清空
                     //重新累加计数:通过遍历前驱结点实现
                     for( set<int>::iterator it=pre[v].begin();it!=pre[v].end();it++)
                     num[v]+=num[*it];//*it=pre[j][k],即k的前驱
                 }
             }
         }
     }
 }

int main(){
    int v1,v2,weigh;
    cin>>n>>edge>>st>>ed;
    for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>weight[i];
    for(int j=0;j<edge;j++){//构建邻接表
        cin>>v1>>v2>>weigh;
        table[v2].push_back(node(v1,weigh));
        table[v1].push_back(node(v2,weigh));
    }
    BF(st);
    cout<<num[ed]<<" "<<w[ed]<<endl;
    return 0;
}