数据结构——跳表

简单介绍跳表

跳表（Skip List）是一种可以进行对数级别查找的数据结构，它通过在数据中构建多级索引来提高查询效率。跳表是一种基于链表的随机化数据结构，其本质是由多个链表组成，每个链表中的元素都是原始链表中的元素。

我们知道链表的查找时间复杂度是O（N），如果这个链表数据是有序的，还是O（N），我们如何利用有序这一点，来进行优化呢？接下来就是我们的主角跳表登场。

跳表在实际应用中有许多用途，例如作为Redis等数据库的有序数据结构实现，以及作为平衡树等数据结构的替代方案。与其他数据结构相比，跳表具有实现简单、空间复杂度低、查询效率高等优点。

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A

Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。

William Pugh开始的优化思路：

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所

示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由

于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概

只有原来的一半。

2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一

个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。

3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方

式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似

二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时

候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格

的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也

包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。

理想状态的跳表大概长这样：

但是一旦我们进行了插入和删除操作，就会很难维护这个2：1的关系。因此

4. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是

插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，

这样就好处理多了。细节过程入下图：

注意重点，在这种处理下，我们插入的结点的层数是随机的！如此一来，插入删除操作就简化了很多。

skiplist的效率

首先要分析，这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设置一个最大的层数限制maxLevel。其次会设计一个概率p。这个p就是指最开始从第一层开始，每多一层的概率为p。

最大层数限制很好理解，这个p就是每次插入的时候，由它来决定这个结点有多少层。每多一层其实就是多一个指针。

在Redis中，这两个参数的取值为

p = 1/4
maxLevel = 32

再简单分析这个p就是：

节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。

节点层数恰好等于1的概率为1-p。

节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。

节点层数大于等于3的概率为p^2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。

节点层数大于等于4的概率为p^3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。

……

平均计算如下：

skiplist的简单实现

其实skiplist只要理解了思想，实现起来还是比较简单了，我们可以参考力扣上的一道题

1206. 设计跳表 - 力扣（LeetCode）

代码：

#pragma once

#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>
#include <random>
#include <chrono>

using namespace std;

struct SkiplistNode
{
	int _val;
	vector<SkiplistNode*> _nextV;  // 层数也就是指针，用数组存起来

	SkiplistNode(int val, int level)
		:_val(val)
		, _nextV(level, nullptr)
	{}
};

class Skiplist
{
	typedef SkiplistNode Node;
public:
	Skiplist()
	{
		srand(time(0));

		// 头结点的层数设置为1
		_head = new SkiplistNode(-1, 1);
	}

	bool search(int target)
	{
		Node* cur = _head;
		int level = _head->_nextV.size() - 1;
		while (level >= 0)
		{
			// 目标值比下一个结点的值要大的话，就往右走
			// 如果下一个结点是空（尾），或者目标值比下一个结点要小，就向下走
			if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)
			{
				// 往右走
				cur = cur->_nextV[level];
			}
			else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
			{
				// 往下走
				--level;
			}
			else
			{
				// 找到了
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

	vector<Node*> FindPrevNode(int num)
	{
		Node* cur = _head;
		int level = _head->_nextV.size() - 1;

		// 记录 被改动的位置的每一层的前一个结点指针
		vector<Node*> prevV(level + 1, _head);

		while (level >= 0)
		{
			// 同理 比下一个结点大就往右走
			// 下一个结点是空，或者目标值比下一个结点要小，就往下走
			if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
			{
				cur = cur->_nextV[level]; // 向右走
			}
			else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num) 
			{
				// 注意 这里num等于也是要进来的
				// 更新level层的前一个
				prevV[level] = cur;
				
				--level; // 向下走
			}
		}

		return prevV;
	}

	void add(int num)
	{
		vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

		int n = RandomLevel();
		Node* newnode = new Node(num, n);

		// 注意：如果n超过了当前的最大层，那么就要相应的提高_head的层数
		if (n > _head->_nextV.size())
		{
			_head->_nextV.resize(n, nullptr);
			prevV.resize(n, _head);
		}

		// 链接前后结点
		for (size_t i = 0; i < n; ++i)
		{
			// 注意顺序，先设置好目标结点的指针指向
			newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
			prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
		}
	}

	bool erase(int num)
	{
		vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

		// 如果第一层的下一个不是val，则val不在表中
		if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
		{
			return false;
		}
		else
		{
			Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
			// 先将del结点的前后结点链接起来
			for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
			{
				prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
			}
			delete del;

			// 如果删除的这个结点改变了跳表结点的当前最高层数，
			// 那么应该将头结点的层数降到第二高的层数
			int i = _head->_nextV.size() - 1;
			while (i >= 0)
			{
				if (_head->_nextV[i] == nullptr)
					--i;
				else
					break;
			}
			_head->_nextV.resize(i + 1);

			return true;
		}

		return false;
	}

	int RandomLevel()
	{
		size_t level = 1;
		// rand() 的取值范围在 [0,RAND_MAX] 之间
		// 这里就转换成了 如果区间在 [0,_p]就加一层
		while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
		{
			++level;
		}

		return level;
	}
private:
	Node* _head;
	size_t _maxLevel = 32;
	double _p = 0.25;
};

void Test()
{
	Skiplist sl;
	//int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6 };
	int a[] = { 1, 2, 3, 4 };
	for (auto e : a)
	{
		sl.add(e);
	}

	/*int x;
	cin >> x;
	sl.erase(x);*/
	sl.erase(1);
	//cout << sl.erase(0) << " " << sl.erase(1) << endl;
}

跳表稍复杂一点的地方就是插入和删除了。因为我们还要需要找到目标结点的每一层的前一个结点，将它们放入数组中，然后才能处理好目标结点的前后结点之间的关系。

另外就是它的查找逻辑，设cur来遍历结点，那么cur的移动就有两种情况，一种是目标值大于cur下一个结点的值的话，cur就向右走；另一种就是小于，那么cur就向下走（--level）。再然后就是等于了。