Open CASCADE学习|曲线和曲面上的标架

曲线和曲面上的标架（Frame）是微分几何中的重要概念，用于描述曲线或曲面在一点处的几何性质。这些标架通常由一组正交单位向量组成，这些向量与曲线或曲面的切线、法线和副法线等方向有关。

对于曲线，常见的标架是Frenet标架，也称为曲线标架（Frenet Frame）或运动标架（Moving Frame）。Frenet标架由曲线的切线向量T、主法线向量N和副法线向量B组成，它们满足以下条件：

切线向量T是曲线在某一点的切向方向，即曲线的速度向量。

主法线向量N是与曲线在某一点处密切平面垂直的单位向量，指向曲线的凹侧。

副法线向量B是与切线向量T和主法线向量N都垂直的单位向量，即B = T × N（叉积）。

Frenet标架是一个正交归一标架，即T、N和B三个向量两两正交且长度都为1。通过Frenet标架，可以方便地描述曲线的曲率、挠率等几何性质。

对于曲面，常见的标架是主曲率标架（Principal Curvature Frame）或Weingarten标架。主曲率标架由曲面的两个主方向上的切线向量和它们对应的两个主曲率方向上的单位法线向量组成。这些向量满足以下条件：

两个切线向量是曲面上某一点处的主方向，即在该点处曲面的两个最大和最小曲率方向。

两个单位法线向量分别是与这两个主方向上的切线向量垂直的单位向量，指向曲面在该点处的两个主曲率方向。

主曲率标架也是一个正交归一标架，它可以用于描述曲面的主曲率、主方向等几何性质。这些标架在微分几何、计算机图形学、机器人学等领域都有广泛的应用。

在OpenCASCADE中，标架（Frame）是一个重要的概念，它用于描述和定义曲线或曲面上的局部坐标系。OpenCASCADE中的标架通常遵循Frenet标架的定义，这是一个由曲线的切线、主法线和副法线组成的正交归一标架。

OpenCASCADE提供了多种类和方法来处理标架，其中GeomFill_Trihedron是一个枚举类型，用于定义不同类型的标架或几何填充方式。这些不同的标架类型可以适应不同的应用需求，例如曲线的光顺处理、几何形状的填充等。

enum GeomFill_Trihedron{GeomFill_IsCorrectedFrenet,GeomFill_IsFixed,GeomFill_IsFrenet,GeomFill_IsConstantNormal,GeomFill_IsDarboux,GeomFill_IsGuideAC,GeomFill_IsGuidePlan,GeomFill_IsGuideACWithContact,GeomFill_IsGuidePlanWithContact,GeomFill_IsDiscreteTrihedron};

GeomFill_Trihedron中的各个枚举项代表了不同类型的标架，如修正的Frenet标架、固定标架、标准的Frenet标架、常法线标架、Darboux标架等。

GeomFill_Fixed：固定的活动动标架，即标架沿着曲线移动时，标架的三个方向是固定的

GeomFill_Frenet：Frenet标架

Frenet标架，也被称为Frenet框架，是描述空间曲线每点处的笛卡尔局部坐标系或标架。这个标架由三个单位向量组成，它们分别是曲线在给定点的单位切向量、主法向量和副法向量。这些向量不仅垂直，而且它们还满足Frenet运动方程组，这是一个描述曲线如何随其参数变化的微分方程组。

在Frenet标架中，曲线上的每一点都可以用这三个基向量的线性组合来表示，这使得我们可以在局部范围内对曲线进行精确的描述和分析。此外，Frenet标架还具有重要的性质，即它是唯一的，即如果存在两条满足Frenet条件的曲线，他们的各个曲率对应相等，且运动速率相同，那么这两条曲线之间只差一个旋转等距变换。