开始背包问题,掌握0-1背包和完全背包即可,注:0-1背包是完全背包的基础。
0-1背包问题:有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。下面是n=4的例子:
如果用穷举方法,应该使用回溯法,那么每个物件都有放一个和不放两种选择,所以回溯的时间复杂度是O(2^n),达到指数级。所以要使用动态规划。
以这个例题来进行二维dp数组和一维dp数组的动规五部曲:背包最大重量为4。物品为:
重量 | 价值 | |
---|---|---|
物品0 | 1 | 15 |
物品1 | 3 | 20 |
物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少?
● 二维dp数组
1. 确定动规数组元素的含义。使用的是二维数组 dp[i][j]:从物品[0,i]范围内随便选择,放进容量为j的背包里,dp[i][j]是背包的最大价值。如下图所示:
2. 确定递推公式。我们可以根据两种方式得到dp[i][j],两种方式对应两种情况,其实dp[i][j]就是取这两种情况的最大值。
①不放物品 i。如果物品i放进重量为j的背包会超重,那么不能把i放进去,所以重量设定为j的话,从[0,i-1]选择和从[0,i]选择的最大价值是一样,所以 dp[i][j] = dp[i-1][j] 。
②放物品 i。如果不会超重,可以放进去。物品 i 放进去,背包最大重量为 j ,还没有放进去物品 i 的时候,背包的最大重量为 j - weight[i] ,数量为i-1,所以这时背包的最大价值为 dp[ i-1 ][ j - weight[i] ]。加入物品 i ,背包价值 dp[i][j] 就为 dp[ i-1 ][ j - weight[i] ] + value[i] 。
所以dp[i][j]= max ( dp[i-1][j] , dp[ i-1 ][ j - weight[i] ] + value[i] )。
必须牢记dp[i][j]的含义。
3. 如何初始化。
在上图里面,背包重量j为0的时候,什么也不能放进去,所以这一列肯定都是0。
物品 0 那一行,只能选择物品 0 自己,所以背包重量 j >=物品 0 的重量对应的表格都应该填上物品 0 的价值15.所以初始化后:
4. 遍历顺序。 根据上表,第一行第一列已经初始化,所以 i 应该从1到2,j 从 0 到背包容量4。是先行还是先列呢,其实都一样。先每个物品那一行统计完更好理解一些,但是先列也是从上往下走的,到一个元素的时候,左上角(包括正上方)的dp[i][j]都已经统计完成,所以都可以。背包问题里,两个for循环的先后循序是非常有讲究的。
5. 打印dp数组。
最后的结果就是返回dp[2][4]。
做题巩固一下:
题目链接46. 携带研究材料:题目链接
和上面例题的分析过程一样,使用二维dp数组,代码如下:
void maxValue(){
int m,begweight;//M 代表物品的种类数,begweight是背包容量
cin>>m>>begweight;
vector<int> weight(m);
vector<int> value(m);
//读取重量和价值
for(int i=0;i<m;++i){
cin>>weight[i];
}
for(int i=0;i<m;++i){
cin>>value[i];
}
//注意行列数
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(begweight+1,0));
//初始化
for(int j=0;j<m;++j){
dp[j][0]=0;
}
for(int j=weight[0];j<=begweight;++j){
dp[0][j]=value[0];
}
//递推
for(int i=1;i<m;++i){
for(int j=1;j<=begweight;++j){
//物品i重量超过背包容量,肯定不放进去
if(j<weight[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];
//物品i重量小于背包容量,也不一定能放进去,取max
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<< dp[m-1][begweight] << endl;
}
● 一维滚动数组
在上面使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);所以dp[i-1]这一层的得到之后,就拷贝到对应的dp[i]这一层来(dp[i]左上方的dp[i-1]肯定都已经得到),这个递推公式可以把 dp[ i-1] 的都改为dp[ i ]:
dp[ i ][ j ] = max(dp[ i ][ j ], dp[ i ][ j - weight[ i ] ] + value[ i ]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组,只留下了上面二维数组的列)。
动规五部曲分析如下:
1. dp[j]含义。含量是j的背包能装下的最大价值。可以从所有的物品中选择。
2. 递推公式。其实和二维数组是差不多的意思,两种情况:放 i 和不放 i 。dp数组省略了i所以这个递推公式也去掉i:dp[ j ] = max(dp[ j ], dp[ j - weight[ i ] ] + value[ i ]);
3. 初始化。只能确定含量是0的背包装下的价值是0,所以dp[0]=0。其他的不能确定,都初始化为0。
4. 遍历顺序。在上面说到:背包问题里,两个for循环的先后循序是非常有讲究的。在这里也体现出来。二维的时候,先背包或者先物品都可以,但是一维的时候,只能先物品再背包,而且背包还得倒序遍历。
为什么背包是倒序遍历?倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次。比如上面的例题,物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15。第一轮i=0:先算dp[1]=max(dp[1],dp[0]+15)=15,那么dp[2]=max(dp[2] , dp[1] + 15)=30,dp[2]就包含了2个物品0。肯定是错的。那么考虑反过来,先算dp[4]的话,先算dp[4]=max(dp[4],dp[3]+15)=15,dp[3]=max(dp[3],dp[2]+15)=15,没有重复包含。所以只能倒序遍历。所以倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,只不过第二行的覆盖第一行,第三行的覆盖第二行……并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖。从左到右覆盖左边的值就是这一层更新过的了。
为什么只能先物品再背包?还是那句话:一维遍历本质上还是一个对二维数组的遍历,右下角的值依赖上一层左上角的值,所以需要保证左边的值仍然是上一层的,结合上面的背包倒序遍历,想象这个过程中,dp数组倒序遍历一轮就是更新了之前二维数组的一行,然后下一轮就是更新二维数组的下一行,这样左边的值仍然是上一层的。
如下图。既然没有了i,那么进行第二轮的j=4,j=3的时候,之前一轮的这两个值就会被覆盖,只有以“先物品再背包,背包倒序遍历”这个顺序来才能使得dp[j]和二维的dp[i-1][j]是一样的效果,我需要用到的是前一轮的值,那么不能先更新前一轮的值,而是要从后往前更新。所以除了这个情况之外的,都会覆盖原来左上角的值,是不对的。
二维数组的时候,本来就是由上一层的dp[i-1]计算得到的,所以上一层的值直接能拿来用不会被覆盖,所以先物品先背包都可以。
背包循环里面,j<nums[i]的dp[j]保持以前的值,和二维的dp[i][j]=dp[i-1][j]对应,所以是判断条件。
5.打印。
代码如下:
void maxValue(){
int m,begweight;//M 代表物品的种类数,begweight是背包容量
cin>>m>>begweight;
vector<int> weight(m);
vector<int> value(m);
for(int i=0;i<m;++i){
cin>>weight[i];
}
for(int i=0;i<m;++i){
cin>>value[i];
}
vector<int> dp(begweight+1,0);
//初始化
dp[0]=0;
//递推,特别注意物品背包的顺序和背包循环内的顺序
for(int i=0;i<m;++i){
for(int j=begweight;j>=weight[i];--j){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<< dp[begweight] << endl;
}
● 416. 分割等和子集
只要找到一个子集,这个子集的和是sum / 2即可,sum是n个数之和。是奇数可以直接返回false。
怎么转换成01背包问题?背包含量begweight是sum/2,n件物品——n个数;重量weight数组——n个数的值;价值value数组——n个数的值;只要背包最后在n个数中找到的子集的和(最大价值)是sum/2,返回true。
代码如下:
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
for(int a:nums)sum+=a;
if(sum%2==1)return false;
int begweight=sum/2; //背包容量
vector<int> dp(begweight+1,0);
for(int i=0;i<nums.size();++i){ //注意nums.size()和begweight别弄混
//j<nums[i]的dp[j]保持以前的值,和二维的dp[i][j]=dp[i-1][j]对应
for(int j=begweight;j>=nums[i];--j){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+ nums[i]);
}
}
//最后结果等于begweight(即sum/2),找到
if(dp[begweight]==begweight)return true;
return false;
}
};