Project_Euler-24 题解

题目

思路

如果是用笔算的话，可以找到这样的规律：

对于下面的这个组合：

$$0123456789$$

我们将其看作一种排列情况，然后我们先使用微扰的方式更改变动一下其中的数值，具体这样来做：

根据字典序的顺序，我们让他变动4次，记录每次变换的规律：

1:
$$0123456798$$

$$0123456879$$

$$0123456897$$

$$0123456978$$

发现一个这样的规律，越高位的数字，越难变动。最后一位数字每次都会变动，肯定是存在规律在其中的。

具体是什么样的规律呢？

假设一共有 $N$ 位，如果我们想让倒数第 $K$ 位增加1，那么从 $K+1$~$N$位的数字位数都需要变换一遍，如果我们一位一位的确定，那么总共有如下的可能性：

$$C_{N-K}^1\ast C_{N-K-1}^1\ast C_{N-K-2}^1...C_1^1$$

例如：$012，
如果我们想让最高位变动，那么就需要 $C_{3-1}^1\ast C_{3-2}^1=C_2^1\ast C_1^1=2\ast 1=2$ 次变动。

最终我们发现，如果想让第 $K$ 位按照字典序变动一次，那么就需要让后面所有位变动 $(N-K)!$位。

根据这个特点，我们可以判断出对于 $0123456789$ 这串数列每一位想要变动时，后面需要变动的次数。

他们分别是：

$$9!,8!,7!,6!,5!,4!,3!,2!,1!,0$$

现在题目想让我们求出第一百万位的的排列是什么，由于 $0123456789$ 是第一种情况，因此我们实际需要变动 $999999$ 次，我们可以通过上面的方式从最高位开始往后确定。

每一位应当尽可能的变化：

例如第一位，$9!=352880$ 所以可以让其变换 $2$ 次，第一位的值就等于 $2$，此时 $999999-2\ast 9!=999999-725760=274239$;

第二位，$8!=40320$，可以让其变换 $6$ 次，第二位的值就等于 $6$， 此时 $274239-6\ast 8!=32319$；

依次类推。

值得一提的是，对于每一位变换的时候，初始值应该是多少呢？我们可以开辟一个数组，对每一位进行标记，如果使用了，就记为1，每用过就记为0，在变换时，我们从0开始，如果这个值被用过，那么向后跳一位，但是不计入变换次数。

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#define MAX_N 10

// jump用来记录1到9的阶乘
int jump[MAX_N + 5];
// 用于标记哪些数字没被使用过， 1表示没被使用，0表示使用过了
int empty_num[MAX_N + 5];

// 初始化函数，计算阶乘，初始化empty_num数组
void init() {
    jump[0] = 1, empty_num[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++) {
        jump[i] = jump[i - 1] * i;
        empty_num[i] = 1;
    }
    return ;
}

// 这个函数返回在需要变换k次时，第n位的值应该是多少。
int get_num(int n, int k) {
	// ind记录应该变化的位数，i表示从-1开始
    int ind = (k / jump[n]) + 1, i = -1;
    while(ind) {
    	// i先加，从0开始判断
        i++;
        // 被用过的数字不会对ind造成影响
        ind -= empty_num[i];
    }
    // 标记使用过
    empty_num[i] = 0;
    return i;
}

int main() {
    init();
    int n, k;
    // n表示需要判断的位数，k表示要求的排列这里应该是一百万。
    scanf("%d %d", &n, &k);
    k -= 1;
    // 从最高位开始判断
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        int num = get_num(i, k);
        printf("%d", num);
        k %= jump[i];
    }
    printf("\n");
    return 0;
}