概率基础——均匀分布

介绍

均匀分布是最简单的概率分布之一，它描述了一个随机变量在一定范围内的取值概率均等的情况。在均匀分布中，每一个数值区间的概率密度都相同，因此它也被称为等概率分布。

理论及公式

在区间$[a,b]$上的均匀分布的概率密度函数（PDF）为：

$$f(x)=\frac{1}{b-a}$$

其中，$a$ 和$b$ 分别是区间的起始值和结束值。

均匀分布的参数

• 起始值 $a$：区间的起始值，也是分布的最小值。
• 结束值$b$：区间的结束值，也是分布的最大值。

举例

假设一家餐厅的送餐时间服从均匀分布，送餐时间的取值范围为30分钟到60分钟之间。我们希望了解送餐时间的分布情况，以便更好地安排送餐员的工作。

概率密度曲线

接下来，我们将使用Python来绘制不同参数的均匀分布的概率密度曲线。

from scipy.stats import uniform
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 3.5, 1000)
uniform_rv_0 = uniform()
uniform_rv_1 = uniform(loc=0.5, scale=2)

plt.plot(x, uniform_rv_0.pdf(x), label='[0,1]', color='red', lw=2, alpha=0.6)
plt.plot(x, uniform_rv_1.pdf(x), label='[0.5,2.5]', color='blue', lw=2, alpha=0.6, linestyle='--')
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.grid(ls="--")
plt.show()

以上代码将绘制出2条不同参数的均匀分布概率密度曲线。从图中可以看出，不同参数的均匀分布曲线在指定的区间内具有相同的概率密度，且在该区间外概率密度为零。构造均匀分布的时候，传入两个参数$loc$和$scale$，指的是随机变量$X$在区间$[loc,loc+scale]$上均匀分布，而区间内概率密度函数的取值，满足处处相等。

from scipy.stats import uniform
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1, 3.5, 1000)
uniform_rv = uniform(1, 2)
uniform_rvs = uniform_rv.rvs(1000000)
plt.plot(x, uniform_rv.pdf(x), 'r-', lw=2, label='uniform pdf')
plt.hist(uniform_rvs, bins=30, density=True, alpha=0.6, label='uniform samples')
plt.legend(loc='best', frameon=False)
plt.grid(ls="--")
plt.show()

总结

本文介绍了均匀分布及Python实现，利用了函数包的各个方法计算出各个理论统计值，均匀分布虽然简单，但是在概率论里面非常重要。