Codeforces Round 926 F. Sasha and the Wedding Binary Search Tree

F. Sasha and the Wedding Binary Search Tree

题意

给定一颗二叉搜索树，规定树上的所有点的点权都在范围 $[1, C]$ 内，树上的某些节点点权已知，某些节点点权未知，求出合法的二叉搜索树的数量

思路

由于是二叉搜索树，所以左子树的点权小于等于右子树的点权，我们先进行一次先序遍历，得到一个 $or d er$ 遍历顺序的数组，其中某些段是未知的点权，我们可以通过其左端点和右端点的点权来约束这些未知点的点权

假如这个未知段左边紧邻的第一个已知点权为 $L$ ，右边紧邻的第一个已知点权为 $R$ ，那么显然我们这个未知段的点权是 $[L, R]$ 的，假设未知段长度为 $l e n$ ，问题等价于选出 $l e n$ 个数，按照非递减的顺序摆放的方案数，允许重复数字出现。

我们将问题再转化一下，由于是非递减，所以一定有： $val_i \leq val_{i + 1}$ ，那么这一段的差分数组一定是大于等于 $0$ 的一段，并且总和为 $R - L$ ，要加上最后一个 $R$ 的位置，长度变为 $l e n + 1$ ，例如： $L = 2, R = 5, l e n = 3$ ，我们构造这样一个方案： $2, 3, 3, 4, 5$ ，差分数组为： $2, 1, 0, 1, 1$ ，忽略第一个位置的话，后面所有元素的和就是 $R - L = 3$ ，那么问题成功转化为了：将 $R - L$ 个相同小球放入 $l e n + 1$ 个不同盒子中（允许空盒子）的方案数，即为： $C_{R - L + len}^{len}$

由于这里 $R - L$ 很大，所以不能直接预处理阶乘，注意到 $\sum len \leq n$ ，我们只需要利用公式： $C_{R - L + len}^{len} = \dfrac{(R - L + len) \cdot (R - L + len - 1) \cdot ... \cdot (R - L + 1)}{len!}$ 来计算即可

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

template<class T>
constexpr T power(T a, ll b){
    T res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

constexpr ll mul(ll a,ll b,ll mod){ //快速乘，避免两个long long相乘取模溢出
    ll res = a * b - ll(1.L * a * b / mod) * mod;
    res %= mod;
    if(res < 0) res += mod; //误差
    return res;
}

template<ll P>
struct MLL{
    ll x;
    constexpr MLL() = default;
    constexpr MLL(ll x) : x(norm(x % getMod())) {}

    static ll Mod;
    constexpr static ll getMod(){
       if(P > 0) return P;
       return Mod;
    }

    constexpr static void setMod(int _Mod){
       Mod = _Mod;
    }
    constexpr ll norm(ll x) const{
       if(x < 0){
           x += getMod();
       }
       if(x >= getMod()){
           x -= getMod();
       }
       return x;
    }
    constexpr ll val() const{
       return x;
    }
    explicit constexpr operator ll() const{ 
       return x; //将结构体显示转换为ll类型： ll res = static_cast<ll>(OBJ)
    }
    constexpr MLL operator -() const{ //负号，等价于加上Mod
       MLL res;
       res.x = norm(getMod() - x);
       return res;
    }
    constexpr MLL inv() const{
       assert(x != 0);
       return power(*this, getMod() - 2); //用费马小定理求逆
    }
    constexpr MLL& operator *= (MLL rhs) & { //& 表示“this”指针不能指向一个临时对象或const对象
       x = mul(x, rhs.x, getMod()); //该函数只能被一个左值调用
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator += (MLL rhs) & {
       x = norm(x + rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator -= (MLL rhs) & {
       x = norm(x - rhs.x);
       return *this;
    }
    constexpr MLL& operator /= (MLL rhs) & {
       return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLL operator * (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res *= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator + (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res += rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator - (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res -= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr MLL operator / (MLL lhs, MLL rhs){
       MLL res = lhs;
       res /= rhs;
       return res;
    }
    friend constexpr std::istream& operator >> (std::istream& is, MLL& a){
       ll v;
       is >> v;
       a = MLL(v);
       return is;
    }
    friend constexpr std::ostream& operator << (std::ostream& os, MLL& a){
       return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator == (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator != (MLL lhs, MLL rhs){
       return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

const ll mod = 998244353;
using Z = MLL<mod>;

struct Comb {
    int n;
    std::vector<Z> _fac;
    std::vector<Z> _invfac;
    std::vector<Z> _inv;

    Comb() : n{0}, _fac{1}, _invfac{1}, _inv{0} {}
    Comb(int n) : Comb() {
        init(n);
    }

    void init(int m) {
        m = std::min(1ll * m, Z::getMod() - 1);
        if (m <= n) return; //已经处理完了需要的长度
        _fac.resize(m + 1);
        _invfac.resize(m + 1);
        _inv.resize(m + 1);

        for (int i = n + 1; i <= m; i++) {
            _fac[i] = _fac[i - 1] * i;
        }
        _invfac[m] = _fac[m].inv();
        for (int i = m; i > n; i--) { //线性递推逆元和阶乘逆元
            _invfac[i - 1] = _invfac[i] * i;
            _inv[i] = _invfac[i] * _fac[i - 1];
        }
        n = m; //新的长度
    }

    Z fac(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _fac[m];
    }
    Z invfac(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _invfac[m];
    }
    Z inv(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _inv[m];
    }
    Z binom(int n, int m) { //二项式系数
        if (n < m || m < 0) return 0;
        return fac(n) * invfac(m) * invfac(n - m);
    }
} comb;


const int N = 500050;

int L[N], R[N];
ll val[N];
std::vector<ll> order;

void dfs(int u){
    if(~L[u]) dfs(L[u]);
    order.push_back(val[u]);
    if(~R[u]) dfs(R[u]);
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int t;
    std::cin >> t;
    while(t--){
        int n;
        ll C;
        std::cin >> n >> C;
        fore(i, 1, n + 1) std::cin >> L[i] >> R[i] >> val[i];
        order.clear();

        order.push_back(1);
        dfs(1);
        order.push_back(C);

        Z ans = 1;

        int idx = 1;
        while(idx <= n){
            while(idx <= n && ~order[idx]) ++idx;
            int l = order[idx - 1];
            int len = 0;
            while(idx <= n && order[idx] == -1){
                ++idx;
                len += 1;
            }
            int r = order[idx];

            Z res = 1;
            for(int i = r - l + len; i >= r - l + 1; --i) res *= i;

            res *= comb.invfac(len);
            
            ans *= res;
        }

        std::cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}