一、爬楼梯

题目一：57. 爬楼梯

57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述

输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述

输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

到达第n个台阶的方法数量是到达前面某些台阶的方法数量的总和，具体来说，就是到达第n-1, n-2, ..., n-m个台阶的方法数量的总和，因为每次可以爬1到m个台阶。

定义一个数组dp，其中dp[i]表示到达第i个台阶的方法数。

初始化dp[0] = 1，因为到达起点（不爬任何台阶）只有一种方法。

然后，对于每一个台阶i（从1到n），计算到达这个台阶的方法数，即dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[i-m]，其中i-m > 0。

对于那些i < m的台阶，只能从比i小的台阶爬上来，所以在这种情况下，dp[i]应该是dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[0]。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int climbStairs(int n, int m) {
    vector<long long> dp(n + 1, 0); 
    dp[0] = 1; 

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m && i - j >= 0; ++j) {
            dp[i] += dp[i - j];
        }
    }

    return dp[n];
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << climbStairs(n, m) << endl;
    return 0;
}

二、零钱兑换

题目一：322. 零钱兑换

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

dp[i]代表组成金额i所需的最少硬币数。

初始化dp[0] = 0，因为金额为0时不需要任何硬币。

对于所有其他的i，可以初始化为一个很大的数，比如amount + 1，这个值代表无效解，因为组成金额i最多使用的硬币数不会超过amount。

对于每个金额i从1到amount，遍历所有的硬币面额，更新dp[i]为：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=322 lang=cpp
 *
 * [322] 零钱兑换
 */

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (i - coin >= 0) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }

        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
};
// @lc code=end

三、完全平方数

题目一：279. 完全平方数

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

初始时，dp[0] = 0，因为组成数0不需要任何完全平方数。

动态规划的状态转移方程为：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=279 lang=cpp
 *
 * [279] 完全平方数
 */

// @lc code=start
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX); 
        dp[0] = 0; 

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j*j <= i; ++j) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j*j] + 1);
            }
        }

        return dp[n];
    }
};
// @lc code=end