【力扣】整数反转，判断是否溢出的数学解法

整数反转原题地址

方法一：数学

反转整数

如何反转一个整数呢？考虑整数操作的3个技巧：

xmod10可以取出x的最低位，如x=123，xmod10=3。
x/=10可以去掉x的最低位，如x=123，x/=10，x=12。
x=x*10+y可以在x后面续上y，其中y是一位数，如x=123，y=4，x=x*10+y，x=1234。

假设要反转的整数为x，反转后的整数存储在变量rev中，rev一开始初始化为0，那么反复执行以下操作：

digit=xmod10，取出x的最低位数。
x/=10，去掉x的最低位数。
rev=rev*10+digit，在rev后面续上digit。

直到x为0为止，此时rev存储的数据符合题目要求。

判断溢出

问题在于，如何判断插入后的数据是否超出[INT_MIN,INT_MAX]的范围，导致溢出？

我们来探索不等式 $INT\_MIN\leqslant n\leqslant INT\_MAX$ 成立的充分必要条件。

先看右半边，即 $n\leqslant INT\_MAX$ 。

对于任意整数i，我们有 $i=\left \lfloor \frac{i}{10} \right \rfloor\times 10+i mod 10$ ，如对于123，123/10=12，123mod10=3，123=12*10+3。

不等式化为： $\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor\times 10+n mod 10=\left \lfloor \frac{INT\_MAX}{10} \right \rfloor\times 10+INT\_MAX mod 10$ ，带入 $INT\_MAXmod10=7$ ， $\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor=rev$ ， $nmod10=digit$ ， $0\leqslant digit\leqslant 9$

移项化简得： $(rev-\left \lfloor \frac{INT\_MAX}{10} \right \rfloor)\times 10\leqslant 7-digit$ ，记 $\left \lfloor \frac{INT\_MAX}{10} \right \rfloor=m$ ，

当rev=m时，如果还要推入数字，那么digit≤2，因为INT_MAX的最高位为2，此时不等式左边等于0，右边为正数，不等式恒成立。
当rev>m时，不等式左边至少是10，右边至多是7，不等式恒不成立。
当rev<m时，不等式左边至多是-10，右边至少是7-9=-2，不等式恒成立。

所以原不等式右半边成立的充分必要条件是 $rev\leqslant m$ ，即 $rev\leqslant\left \lfloor \frac{INT\_MAX}{10} \right \rfloor$ 。同理左半边成立的充分必要条件是 $rev\geqslant \left \lceil \frac{INT\_MIN}{10} \right \rceil$ 。

原不等式成立的充分必要条件是 $\left \lceil \frac{INT\_MIN}{10} \right \rceil\leqslant rev\leqslant\left \lfloor \frac{INT\_MAX}{10} \right \rfloor$

// 方法一：数学
class Solution {
public:
    int reverse(int x) {
        int rev = 0;
        while (x)
        {
            if (rev < INT_MIN / 10 || rev > INT_MAX / 10)
            {
                return 0;
            }

            // rev后面续上x的最低位
            rev = rev * 10 + x % 10;
            // 去掉x的最低位
            x /= 10;
        }

        return rev;
    }
};

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