前缀和算法

【模板】前缀和

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题目链接：前缀和

算法思路

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先预处理出来⼀个「前缀和」数组：

  • ⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
  • 使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和： 当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。
代码
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        while (scan.hasNextInt()) { 
            int n = scan.nextInt();
            int q = scan.nextInt();
            int[] array = new int[n + 1];
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                array[i] = scan.nextInt();
            }
            // 使用long防止溢出
            long dp[] = new long[n + 1];
            dp[0] = 0; // 初始化
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                // 前缀和
                dp[i] = dp[i - 1] + array[i];
            }
            for(int i = 0; i < q; i++) {
                int l = scan.nextInt();
                int r = scan.nextInt();
                // 使用前缀和数组
                System.out.println(dp[r] - dp[l - 1]);
            }

        }
    }
}

【模板】二维前缀和

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题目链接：【模板】二维前缀和

算法思路：

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代码：
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int q = scan.nextInt();
        int[][] array = new int[n+1][m+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                array[i][j] = scan.nextInt();
            }
        }
        // 计算前缀和
        long[][] dp = new long[n+1][m+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j] - dp[i-1][j-1] + array[i][j];
            }
        }
        while(q > 0) {
            int x1 = scan.nextInt();
            int y1 = scan.nextInt();
            int x2 = scan.nextInt();
            int y2 = scan.nextInt();
            // 使用前缀和
            System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1-1][y1-1]);
            q--;
        }
    }
}

寻找数组的中心下标

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题目链接：寻找数组的中心下标

算法思路：

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代码：
class Solution {
    public int pivotIndex(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] ldp = new int[n+1];
        int[] rdp = new int[n+1];
        // 计算左前缀和
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            // ldp[i]计算的是[0,i-1]之和
            ldp[i] = ldp[i - 1] + nums[i - 1];
        }   
        // 计算右前缀和    
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            // rdp[i]计算的是[i+1, n-1]之和
            rdp[i] = rdp[i+1] + nums[i+1];
        }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(ldp[i] == rdp[i]) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

除自身以外数组的乘积

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题目链接：除自身以外数组的乘积

算法思路：

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代码：
class Solution {
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        // 题目要求不能使用除法
        // 可以前缀积*后缀积
        int n = nums.length;
        int[] ldp = new int[n+1];
        int[] rdp = new int[n+1];
        // 乘数不能为0
        ldp[0] = 1;
        rdp[n-1] = 1;
        // 求前缀积
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            // ldp[i]等于[0, i-1]之间的乘积
            ldp[i] = ldp[i-1] * nums[i-1];
        }
        // 求后缀积
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            // rdp[i]等于[i+1, n-1]之间的乘积
            rdp[i] = rdp[i+1] * nums[i+1];
        }
        int[] answer = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            answer[i] = ldp[i] * rdp[i];
        }
        return answer;
    }
}

和为K的子数组

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题目链接：和为k的子数组

算法思路：

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代码：
class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        // 我的第一个想法是滑动窗口，但是不行，因为数组中有0和负数，不具有单调性。
        // 我们可以考虑前缀和
        // 求该数组中和为 k 的子数组的个数，即求sum - k有几个
        // 所以可以引入哈希表，统计前缀和的个数
        Map<Integer, Integer> hashMap = new HashMap<>();
        // 如果整个前缀和为k时
        hashMap.put(0, 1);
        int sum = 0;// 用来统计当前位置的前缀和
        int result = 0; // 用来统计个数
        for(int x : nums) {
            sum += x;
            // 更新结果
            result += hashMap.getOrDefault(sum - k, 0);
            // 把当前前缀和加入哈希表
            hashMap.put(sum, hashMap.getOrDefault(sum, 0) + 1);
        }
        return result;
    }
}

和可被K整除的子数组

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题目链接：和可被K整除的子数组

算法思路：

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设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

  • 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
  • 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得 (b - a) % k == 0 。
  • 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成： 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数。
image.png

代码：
class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        Map<Integer,Integer> hashMap = new HashMap<>();
        // 整个前缀和为0
        hashMap.put(0%k,1);
        int sum = 0; // 求前缀和
        int result = 0; 
        for(int x : nums) {
            sum += x; // 求当前位置的前缀和
            int r = (sum % k + k) % k; // 求余数
            // 更新结果
            result += hashMap.getOrDefault(r, 0);
            hashMap.put(r, hashMap.getOrDefault(r, 0) + 1);
        }
        return result;
    }
}

连续数组

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题目链接：连续数组

算法思想：

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设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1,i] 区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题就变成：

  • 找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。 我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i] 的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。

image.png

代码：
class Solution {
    public int findMaxLength(int[] nums) {
        // 将0换成-1，即求和为0的最长连续子数组
        int n = nums.length;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                nums[i] = -1;
            }
        }
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0, -1); // 前缀和为0
        int sum = 0;
        int result = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            sum += nums[i];
            if(hash.containsKey(sum)) {
                 result = Math.max(result, i - hash.get(sum));
            }else {
                // 第一次出现
                hash.put(sum, i);
            }

        }
        return result;
    }
}

矩阵区域和

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题目链接：https://leetcode.cn/problems/matrix-block-sum/

算法思路：

image.png⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上⻆」以及「右下⻆」的坐标（推荐⼤家画图）左上⻆坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;右下⻆坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 m-1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 =min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k)
然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）

代码：
class Solution {
    public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;
        // 求二维前缀和
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1];
            }
        }
        // 使用二维前缀和
        int[][] answer = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                int x1 = Math.max(0, i - k) + 1, y1 = Math.max(0, j - k) +1;
                int x2 = Math.min(m-1, i + k) + 1, y2 = Math.min(n-1, j + k) + 1;
                answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1];
            }
        }
        return answer;
    }
}

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