文章目录
- 一、583、两个字符串的删除操作
- 二、72、编辑距离
- 三、完整代码
所有的LeetCode题解索引，可以看这篇文章——【算法和数据结构】LeetCode题解。
一、583、两个字符串的删除操作
思路分析：本题的思路和115、不同的子序列差不多，只是变成了两个字符串都能删除字符。
- 第一步，动态数组的含义。 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]代表使得 w o r d 1 [ 0 , i − 1 ] word1[0, i-1] word1[0,i−1]和 w r o d 2 [ 0 , j − 1 ] wrod2[0, j-1] wrod2[0,j−1]相等所需删除的最小步数。
- 第二步，递推公式。 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]可以由两种情况推导出来：
- w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]与 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]相同：那么最小步数和使得 w o r d 1 [ 0 , i − 2 ] word1[0, i-2] word1[0,i−2]和 w r o d 2 [ 0 , j − 2 ] wrod2[0, j-2] wrod2[0,j−2]相等所需删除的最小步数相同。 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]。
- w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]与 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]不相同：这种情况的 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]可以由三部分构成：若 w o r d 1 [ 0 , i − 2 ] word1[0, i - 2] word1[0,i−2]和 w o r d 2 [ 0 , j − 1 ] word2[0, j - 1] word2[0,j−1]做了 d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i - 1][j] dp[i−1][j]次删除操作以后会相等，那么再删除 w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]以后又可以相等，即 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1 dp[i][j]=dp[i−1][j]+1；若 w o r d 1 [ 0 , i − 1 ] word1[0, i - 1] word1[0,i−1]和 w o r d 2 [ 0 , j − 2 ] word2[0, j - 2] word2[0,j−2]做了 d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j - 1] dp[i][j−1]次删除操作以后会相等，那么再删除 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]以后又可以相等，即 d p [ i ] [ j ] = d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1 dp[i][j]=dp[i][j−1]+1。因为要求最小步数，那么我们对两项取最小： d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 , d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 ) dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1) dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,dp[i][j−1]+1)。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
- 第三步，元素初始化。 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0]（第一列）表示字符串 w o r d 1 [ 0 , i − 1 ] word1[0, i-1] word1[0,i−1]变成空字符串需要删除的最小字符个数。 d p [ 0 ] [ j ] dp[0][j] dp[0][j]（第一行）表示 w o r d 2 [ 0 , j − 1 ] word2[0, j-1] word2[0,j−1]变成空字符串需要删除的最小字符个数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 d p [ 0 ] [ 0 ] = 0 , d p [ i ] [ 0 ] = i , d p [ 0 ] [ j ] = j dp[0][0]=0, dp[i][0] = i, dp[0][j] = j dp[0][0]=0,dp[i][0]=i,dp[0][j]=j。
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
- 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
- 第五步，打印结果。
程序如下：
// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0)); // dp[0][0]为0
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)， n n n和 m m m分别是两个字符串的长度。
- 空间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)。
二、72、编辑距离
思路分析：本题在583题的基础之上加入了插入和替换操作。我们同样用动态规划的方法分析。
- 第一步，动态数组的含义。 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]代表使得 w o r d 1 [ 0 , i − 1 ] word1[0, i-1] word1[0,i−1]和 w r o d 2 [ 0 , j − 1 ] wrod2[0, j-1] wrod2[0,j−1]相等所需的最小操作数。
- 第二步，递推公式。 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]可以由两种情况推导出来：
- w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]与 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]相同：那么最小操作数和使得 w o r d 1 [ 0 , i − 2 ] word1[0, i-2] word1[0,i−2]和 w r o d 2 [ 0 , j − 2 ] wrod2[0, j-2] wrod2[0,j−2]相等所需的最小操作数相同。 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]。
- w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]与 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]不相同：这种情况的 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]可以由三部分构成：增加、删除和替换。删除部分和583题一致： d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 , d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 ) dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1) dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,dp[i][j−1]+1)。而增加字符和删除的操作数没有区别。若 w o r d 1 [ 0 , i − 2 ] word1[0, i - 2] word1[0,i−2]和 w o r d 2 [ 0 , j − 2 ] word2[0, j - 2] word2[0,j−2]做了 d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i - 1][j - 1] dp[i−1][j−1]次删除操作以后会相等，那么再替换 w o r d 1 [ i − 1 ] word1[i - 1] word1[i−1]或者 w o r d 2 [ j − 1 ] word2[j - 1] word2[j−1]之间任意一个元素以后又可以相等，即 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1。因为要求最小操作数，那么我们对两项取最小： d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 , d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 , d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 ) = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] , d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] ) + 1 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1) = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j−1]+1)=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1],dp[i−1][j−1])+1。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1; // min()函数只接受两个参数，或者数组
else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
- 第三步，元素初始化。 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0]（第一列）表示字符串 w o r d 1 [ 0 , i − 1 ] word1[0, i-1] word1[0,i−1]变成空字符串需要的最少操作数。 d p [ 0 ] [ j ] dp[0][j] dp[0][j]（第一行）表示 w o r d 2 [ 0 , j − 1 ] word2[0, j-1] word2[0,j−1]变成空字符串需要的最少操作数。其中，空字符串word1变成空字符串word2的个数为0。那么 d p [ 0 ] [ 0 ] = 0 , d p [ i ] [ 0 ] = i , d p [ 0 ] [ j ] = j dp[0][0]=0, dp[i][0] = i, dp[0][j] = j dp[0][0]=0,dp[i][0]=i,dp[0][j]=j。
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
- 第四步，递归顺序。一共有两层循环，从前往后进行遍历。
- 第五步，打印结果。
程序如下：
// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0)); // dp[0][0]为0
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1; // min()函数只接受两个参数，或者数组
else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)， n n n和 m m m分别是两个字符串的长度。
- 空间复杂度： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)。
三、完整代码
# include <iostream>
# include <vector>
# include <string>
using namespace std;
// 583、两个字符串的删除操作-动态规划
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector<vector<uint64_t>> dp(word1.size() + 1, vector<uint64_t>(word2.size() + 1, 0)); // dp[0][0]为0
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};
// 72、编辑距离-动态规划
class Solution2 {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0)); // dp[0][0]为0
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i; // 第一列初始化为i
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; // 第一行初始化为i
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
//else dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1; // min()函数只接受两个参数，或者数组
else dp[i][j] = min({ dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1] }) + 1;
}
}
return dp[word1.size()][word2.size()];
}
};
int main() {
//string word1 = "sea", word2 = "eat"; // 测试案例
//Solution s1;
//int result = s1.minDistance(word1, word2);
string word1 = "horse", word2 = "ros"; // 测试案例
Solution2 s1;
int result = s1.minDistance(word1, word2);
cout << result << endl;
system("pause");
return 0;
}
end
![BUUCTF-Real-[ThinkPHP]2-Rce1](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/2834d07a15be48d4b032c7cc5e4961a1.png)
