01神经网络的理论及实现

感知机的缺点就是需要设置合适的权重，而权重的设置都是人工操作的。

1、从感知机到神经网络

重新画出感知机的模型，在图上加上偏置，由于偏置始终为1，所以颜色加深。

图1-1 感知机模型

引入新函数(激活函数）：

$h(x)=\left\{\begin{matrix} 0 (x\leqslant 0)\\ 1(x>0) \end{matrix}\right.$ (1-1)

将感知机表达式改为：

$y=h(b+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2})$ (1-2)

也可以分开写为：

$a=b+w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$ (1-3)

$y=h(a)$ (1-4)

根据公式（1-3）和（1-4）可以将图1-1更改为图1-2模型。

图1-2 加入激活函数的感知机图

2、激活函数

激活函数会将输入信号的总和转换为输出信号。

激活函数如果使用阶跃函数，就是感知机。

如果使用其它激活函数，就是神经网络。

2.1 阶跃函数

公式（1-1）就是阶跃函数。

实现代码：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def step_function(x):
    return np.array(x>0,dtype=int)

x=np.arange(-5,5,0.1)
y=step_function(x)
plt.plot(x,y)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()

运行结果：

原来的程序运行出错：

AttributeError: module 'numpy' has no attribute 'int'

解决办法：是因为版本的问题，将dtype=np.int更改为dtype=int即可。

2.2 sigmoid函数

Sigmoid型函数是一类S型曲线函数，为两端饱和函数，常见的有Logistic函数和Tanh函数。

饱和：

对于函数f(x),若 $x \to -\infty$ 时，导数 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}n \to 0$ ,称为左饱和，当 $x \to +\infty$ 时，导数 $\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \to 0$ ，称为右饱和。两个都满足的情况下称为两端饱和。

2.2.1 Logistic函数

表达式：

$h(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ (1-5)

实现代码：

def sigmoid(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

x=np.arange(-5,5,0.1)
y=sigmoid(x)
plt.plot(x,y)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()

输出：

2.2.2 Tanh函数

表达式：

$tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ (1-6)

实现代码：

def tanh(x):
    return (np.exp(x)-np.exp(-x))/(np.exp(x)+np.exp(-x))

x=np.arange(-5,5,0.1)
y1=tanh(x)
plt.plot(x,y1)
plt.ylim(-1.1,1.1)

plt.show()

输出：

Tanh函数的输出是零中心化的，而Logistic函数的输出恒大于0。非中心化的输出会使得其后一层的神经元的输入发生偏置偏移，并进一步使得梯度下降的收敛速度变慢。

2.3 ReLU函数

ReLU（Rectified Linear Unit）函数，表达式为：

$h(x)=\left\{\begin{matrix} x (x>0)\\ 0 (x\leqslant 0) \end{matrix}\right.$ (1-7)

实现代码：

def relu(x):
    return np.maximum(0,x)

x=np.arange(-6,6,0.1)
y=relu(x)
plt.plot(x,y)
plt.ylim(-1,5)
plt.show()

输出：

优点：

1、只需要进行加、乘和比较的操作，计算更高效。

2、具有很好的稀疏性，大约50%的神经元处于激活状态。

3、具有左饱和函数，在一定程度上缓解了梯度消失问题，加速梯度下降的收敛速度。

缺点：

1、非零中心化，影响梯度下降的效率；

2、死亡ReLU问题，即一次不恰当的更新后，ReLU神经元都不能被激活，永远可能都会是0.

2.3.1 带泄露的ReLU（Leaky ReLU）

在x<0时，可以保持一个很小的梯度 $\gamma$ ，避免死亡ReLU的问题。

表达式：

$\gamma$ 一般选择为0.01.

$LeakyReLU(x)=\left\{\begin{matrix} x &if x>0 \\ \\0.01 x & if x\leqslant 0 \end{matrix}\right.$ (1-8)

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def Leaky_relu(x):
    return np.maximum(0.01*x,x)

x=np.arange(-5.0,5.0,0.1)
y=Leaky_relu(x)
plt.plot(x,y)
plt.show()

输出：

和ReLU相比，负方向有个很小的弧度。

2.3.2 带参数的ReLU

带参数的ReLU（parametric ReLU,PReLU),PReLU是一个参数可变的函数。

表达式：

$PReLU_{i}(x)=\left\{\begin{matrix} x&if x>0 \\ \gamma _{i} x&if x\leq 0 \end{matrix}\right.$ (1-9)

2.3.3 ELU函数

ELU（Exponential Linear Unit，指数线性单元）

定义：

$ELU(x)=\left\{\begin{matrix} x & if x>0\\ \gamma (e^{x}-1) & if x\leq 0 \end{matrix}\right.$ (1-10)

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def elu(x,alpha=1):
    a = x[x>0]
    b = alpha*(math.e**(x[x<0])-1)
    result=np.concatenate((b,a),axis=0)
    return result

x=np.arange(-5.0,5.0,0.1)
y=elu(x)
plt.plot(x,y)
plt.show()

输出：

3、3层神经网络的实现

代码实现：

def init_network():#初始化权重和偏置
    network={}
    network['W1']=np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
    network['b1']=np.array([0.1,0.2,0.3])
    network['W2']=np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
    network['b2']=np.array([0.1,0.2])
    network['W3']=np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
    network['b3']=np.array([0.1,0.2])
    
    return network

def forward(network,x):#前向传递，封装将输入信号转换为输出信号的处理过程
    W1,W2,W3=network['W1'],network['W2'],network['W3']
    b1,b2,b3=network['b1'],network['b2'],network['b3']
    
    a1=np.dot(x,W1)+b1
    z1=sigmoid(a1)
    a2=np.dot(z1,W2)+b2
    z2=sigmoid(a2)
    a3=np.dot(z2,W3)+b3
    y=identity_function(a3)
    
    return y

network=init_network()
x=np.array([1,0.5])
y=forward(network,x)
y

输出：

array([0.31682708, 0.69627909])

4、softmax函数

表达式：

$y_{k}=\frac{e^{a_{k}}}{\sum_{i=1}^{n}e^{a_{i}}}$ (1-11)

由于会出现溢出情况，所以将公式（1-11）变换。

$y_{k}=\frac{e^{a_{k}}}{\sum_{i=1}^{n}e^{a_{i}}}=\frac{Ce^{a_{k}}}{C\sum_{i=1}^{n}e^{a_{i}}}=\frac{e^{(a_{k}+logC)}}{\sum_{n}^{i=1}e^{(a_{i}+logC)}}=\frac{e^{(a_{k}+C{}')}}{\sum_{n}^{i=1}e^{(a_{i}+C{}')}}$ (1-12)

为了防止溢出，增加 $C{}'$ 为任何值，一般会使用输入信号中的最大值。

实现代码：

def softmax(a):
    c=np.max(a)
    exp_a=np.exp(a-c)
    sum_exp_a=np.sum(exp_a)
    y=exp_a/sum_exp_a
    
    return y

softmax函数的输出是0~1.0之间的实数，总和为1。所以才把softmax函数的输出解释为“概率”。

举例：

a=np.array([0.3,2.9,4])
y=softmax(a)
y

输出：

array([0.01821127, 0.24519181, 0.73659691])

可以解释为y[0]概率0.018（1.8%），y[1]概率为0.245（24.5%），y[2]概率为0.737（73.7%）。

从概率结果可以看出，有74%概率是第2个类别。

由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会被省略。

5、手写数字识别实例

和机器学习步骤一样，分为学习和推理两个阶段。学习就是首先使用训练数据进行权重参数的学习；然后进行推理，使用刚才学习到的参数，对输入参数进行分类。

minist 显示代码

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
from dataset.mnist import load_mnist
from PIL import Image


def img_show(img):
    pil_img = Image.fromarray(np.uint8(img))
    pil_img.show()

(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(flatten=True, normalize=False)

img = x_train[0]
label = t_train[0]
print(label)  # 5

print(img.shape)  # (784,)
img = img.reshape(28, 28)  # 把图像的形状变为原来的尺寸
print(img.shape)  # (28, 28)

img_show(img)

输出第1个图片：

计算精度的程序：

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist
from common.functions import sigmoid, softmax


def get_data():
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test


def init_network():
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network


def predict(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = softmax(a3)

    return y


x, t = get_data()
network = init_network()
accuracy_cnt = 0
for i in range(len(x)):
    y = predict(network, x[i])
    p= np.argmax(y) # 获取概率最高的元素的索引
    if p == t[i]:
        accuracy_cnt += 1

print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))

输出精度为：93.51%。

5.1 批处理

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as np
import pickle
from dataset.mnist import load_mnist
from common.functions import sigmoid, softmax


def get_data():
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test


def init_network():
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network


def predict(network, x):
    w1, w2, w3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    a1 = np.dot(x, w1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, w2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, w3) + b3
    y = softmax(a3)

    return y


x, t = get_data()
network = init_network()

batch_size = 100 # 批数量
accuracy_cnt = 0

for i in range(0, len(x), batch_size):
    x_batch = x[i:i+batch_size]
    y_batch = predict(network, x_batch)
    p = np.argmax(y_batch, axis=1)
    accuracy_cnt += np.sum(p == t[i:i+batch_size])

print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))

参考资料：

1、深度学习入门：基于python的理论与实现

2、神经网络与深度学习邱锡鹏。